Кратные интегралы. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ëÒÁÔÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
§1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ D, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÌÉÎÉÅÊ
L, ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÊ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ × D ÆÕÎËÃÉÑ z = f (x, y).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÚÍÅÌØÞÅÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÎÁ ÐÌÏÝÁÄËÉ S
i
, i = 1, 2, . . . , n, –S
i
¡
ÐÌÏÝÁÄÉ ÐÌÏÝÁÄÏË S
i
. óÕÍÍÁ
n
X
i=1
f(P
i
)–S
i
, P
i
∈ S
i
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ, Á ÐÒÅÄÅÌ ÔÁËÉÈ ÓÕÍÍ ÐÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÎÁÉÂÏÌØ-
ÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÐÌÏÝÁÄÏË Ë ÎÕÌÀ É ÞÉÓÌÁ ÐÌÏÝÁÄÏË n Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÏÊÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f(x, y) ÐÏ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
RR
D
f(x, y) dS.
õËÁÚÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ × D ÆÕÎË-
ÃÉÉ
z = f (x, y).
÷ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË ¡
ZZ
D
f(x, y) dx dy, Á × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ¡
ZZ
D
f(r, ϕ)r dr dϕ.
§2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Ä×ÏÊÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ É Ó×ÏÄÑÔ × ÎÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ë ÐÏ-
×ÔÏÒÎÏÍÕ:
1) ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ D ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÐÒÑÍÙÍÉ x = a
É x = b, (a < b), Á ÓÎÉÚÕ É Ó×ÅÒÈÕ ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ y = ϕ(x)
É y = ψ(x), [ϕ(x) 6 ψ(x)].
äÌÑ ÔÁËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(1)
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
b
Z
a
dx
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f(x, y) dy,
1
                 ëÒÁÔÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ

§1. ïÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
   ðÕÓÔØ ÄÁÎÁ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ D, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÌÉÎÉÅÊ
L, ÎÅ ÉÍÅÀÝÅÊ ÓÁÍÏÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÊ, É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ × D ÆÕÎËÃÉÑ z = f (x, y).
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÉÚÍÅÌØÞÅÎÉÅ ÏÂÌÁÓÔÉ D ÎÁ ÐÌÏÝÁÄËÉ Si , i = 1, 2, . . . , n, –Si ¡
ÐÌÏÝÁÄÉ ÐÌÏÝÁÄÏË Si . óÕÍÍÁ
                        n
                        X
                          f (Pi )–Si,  Pi ∈ Si
                          i=1
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ, Á ÐÒÅÄÅÌ ÔÁËÉÈ ÓÕÍÍ ÐÒÉ ÓÔÒÅÍÌÅÎÉÉ ÎÁÉÂÏÌØ-
ÛÅÇÏ ÄÉÁÍÅÔÒÁ ÐÌÏÝÁÄÏË Ë ÎÕÌÀ É ÞÉÓÌÁ ÐÌÏÝÁÄÏË n Ë ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ ÎÁ-
ÚÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÏÊÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x, y) ÐÏ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÚÁÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ
RR
   f (x, y) dS.
D
  õËÁÚÁÎÎÙÊ ×ÙÛÅ ÐÒÅÄÅÌ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÊ × D ÆÕÎË-
ÃÉÉ
                                z = f (x, y).
÷ ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÇÌÑÄÉÔ ÔÁË ¡
         ZZ                                   ZZ
             f (x, y) dx dy, Á × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ¡      f (r, ϕ)r dr dϕ.
           D                                            D


§2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
   ðÒÉ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ Ä×ÏÊÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÀÔ Ä×Å ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ É Ó×ÏÄÑÔ × ÎÉÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ë ÐÏ-
×ÔÏÒÎÏÍÕ:
    1) ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ D ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÐÒÑÍÙÍÉ x = a
       É x = b, (a < b), Á ÓÎÉÚÕ É Ó×ÅÒÈÕ ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ y = ϕ(x)
       É y = ψ(x), [ϕ(x) 6 ψ(x)].
          äÌÑ ÔÁËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                  ZZ                      Zb      ψ(x)
                                                  Z
(1)                    f (x, y) dx dy =        dx     f (x, y) dy,
                   D                      a      ϕ(x)
                                      1

Страницы