Кратные интегралы. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 §2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
ÐÅÒÅÓÅÞÅÔ ÏÂÌÁÓÔØ D × ÔÏÞËÁÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÐÒÑÍÙÈ y =
x
2
É y = 2x, ÓÌÅÄÏ-
×ÁÔÅÌØÎÏ,
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
π
Z
0
dx
2x
Z
x
2
f(x, y) dy.
åÓÌÉ ÖÅ ÎÁÞÁÓÔØ Ó ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ x, ÔÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 0 6 y 6 2π ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ (x, y) ÏÂÌÁÓÔÉ D É ÞÔÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÐÒÑÍÁÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ
ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ y, ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÂÌÁÓÔØ D × ÔÏÞËÁÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÐÒÑÍÙÈ (ÓÍ.
ÒÉÓ.):
x =
y
2
É x = 2y ÐÒÉ 0 < y <
π
2
{D
1
}
ÌÉÂÏ
x =
y
2
É x = π ÐÒÉ
π
2
< y < 2π {D
2
}.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÌÁÓÔØ D ÎÁÄÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ÏÂÌÁÓÔÉ, ÐÏÓÌÅ
ÞÅÇÏ ÉÍÅÅÍ
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
ZZ
D
1
f(x, y) dx dy +
ZZ
D
2
f(x, y) dx dy =
=
π
2
Z
0
dy
2y
Z
y
2
f(x, y) dx +
2π
Z
π
2
dy
π
Z
y
2
f(x, y) dx.
óÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÐÏÌÏÖÉ× f (x, y) = sin y,
ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ ÏÔ×ÅÔ:
RR
D
sin y dx dy = 2.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÕÓÔØ D ¡ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË (x, y), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x > 0, y > x
2
É y 6 2 − x
2
. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
RR
D
√
xy dx dy.
4                                         §2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ




                                                                                        x
ÐÅÒÅÓÅÞÅÔ ÏÂÌÁÓÔØ D × ÔÏÞËÁÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÐÒÑÍÙÈ y =                                     2   É y = 2x, ÓÌÅÄÏ-
×ÁÔÅÌØÎÏ,
                  ZZ                  Zπ Z2x
                      f (x, y) dx dy = dx f (x, y) dy.
                      D                              0          x
                                                                2

   åÓÌÉ ÖÅ ÎÁÞÁÓÔØ Ó ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÏ x, ÔÏ ÚÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ 0 6 y 6 2π ÄÌÑ
ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ (x, y) ÏÂÌÁÓÔÉ D É ÞÔÏ ÇÏÒÉÚÏÎÔÁÌØÎÁÑ ÐÒÑÍÁÑ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÁÑ
ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍÕ y, ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÏÂÌÁÓÔØ D × ÔÏÞËÁÈ, ÌÅÖÁÝÉÈ ÎÁ ÐÒÑÍÙÈ (ÓÍ.
ÒÉÓ.):
                      y                             π
                x=        É x = 2y ÐÒÉ 0 < y <           {D1 }
                      2                             2
ÌÉÂÏ
                     y                     π
               x=        É x = π ÐÒÉ         < y < 2π {D2 } .
                     2                     2
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÂÌÁÓÔØ D ÎÁÄÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ Ä×Å ÏÂÌÁÓÔÉ, ÐÏÓÌÅ
ÞÅÇÏ ÉÍÅÅÍ
         ZZ                   ZZ                  ZZ
             f (x, y) dx dy =    f (x, y) dx dy +     f (x, y) dx dy =
          D                               D1                             D2
                          π
                      Z   2        Z2y                   Z2π        Zπ
                  =           dy         f (x, y) dx +         dy        f (x, y) dx.
                      0            y
                                   2
                                                         π
                                                         2
                                                                    y
                                                                    2

óÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔÅ
                 RR          ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÐÏÌÏÖÉ× f (x, y) = sin y,
ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ ÏÔ×ÅÔ:    sin y dx dy = 2.
                  D


   ðÒÉÍÅÒ 3. ðÕÓÔØ D ¡RRÍÎÏÖÅÓÔ×Ï
                         √         ÔÏÞÅË (x, y), ÄÌÑ ËÏÔÏÒÙÈ x > 0, y > x2
É y 6 2 − x2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ    xy dx dy.
                                   D

Страницы