Кратные интегралы. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 §2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
ZZ
D
f(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ.
ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÉÓ-
ÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÌÑÒÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ ÐÏ-
ÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÏÔÎÅÓÑ ÅÅ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ (r, ϕ), ÎÏ ÎÅ-
ÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÝÅ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÅÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ r. ôÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ É × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÎÏ×ÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. üÔÏÔ ÍÎÏ-
ÖÉÔÅÌØ × ÞÅÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ñËÏÂÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÑËÏÂÉÁÎÏÍ.
ðÒÉÍÅÒ 4. ðÕÓÔØ D ¡ ÞÁÓÔØ ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ËÏÌØÃÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉ-
ÓÕÎËÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
RR
D
e
x
2
+y
2
dx dy.
òÅÛÅÎÉÅ.
ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ϕ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 0 ÄÏ
π
2
, Á r ÉÚÍÅ-
ÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 1 ÄÏ 3, ÄÁÌÅÅ,
x
2
+ y
2
= (r cos ϕ)
2
+ (r sin ϕ)
2
= r
2
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ZZ
D
e
x
2
+y
2
dx dy =
π
2
Z
0
dϕ
3
Z
1
e
r
2
r dr =
π
2
Z
0
dϕ
3
Z
1
1
2
e
r
2
dr
2
=
=
1
2
π
2
Z
0
dϕ
h
e
r
2
i
r=3
r=1
=
1
2
π
2
Z
0
(e
9
− e) dϕ =
πe(e
8
− 1)
4
.
âÅÚ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÜÔÏÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉ-
ÓÌÉÔØ, ÔÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÎÑÑ ÍÅÔÏÄÙ ÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ.
6                                           §2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ

÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ
             ZZ                                      ZZ
                         f (x, y) dx dy =                         f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ.
                  D                                  D

   ïÂÒÁÔÉÔÅ ×ÎÉÍÁÎÉÅ, ÞÔÏ, ÅÓÌÉ ÎÕÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ, ÉÓ-
ÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÌÑÒÎÙÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ, ÔÏ ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÎÅÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ ÐÏ-
ÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ, ÏÔÎÅÓÑ ÅÅ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ (r, ϕ), ÎÏ ÎÅ-
ÏÂÈÏÄÉÍÏ ÅÝÅ ÕÍÎÏÖÉÔØ ÅÅ ÎÁ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ r. ôÏÞÎÏ ÔÁË ÖÅ É × ÏÂÝÅÍ ÓÌÕÞÁÅ
ÐÒÉ ÐÅÒÅÈÏÄÅ Ë ÎÏ×ÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÕÍÎÏÖÁÅÔÓÑ
ÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÙÊ ÍÎÏÖÉÔÅÌØ, ÚÁ×ÉÓÑÝÉÊ ÏÔ ×ÙÂÒÁÎÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ. üÔÏÔ ÍÎÏ-
ÖÉÔÅÌØ × ÞÅÓÔØ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁ ñËÏÂÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÑËÏÂÉÁÎÏÍ.

   ðÒÉÍÅÒ 4. ðÕÓÔØ
                 RR D     ¡ ÞÁÓÔØ ËÒÕÇÏ×ÏÇÏ ËÏÌØÃÁ, ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÎÏÇÏ ÎÁ ÒÉ-
                      x2 +y 2
ÓÕÎËÅ. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ    e         dx dy.
                           D




òÅÛÅÎÉÅ.
   ñÓÎÏ, ÞÔÏ × ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÍÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ ϕ ÉÚÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 0 ÄÏ π2 , Á r ÉÚÍÅ-
ÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 1 ÄÏ 3, ÄÁÌÅÅ,
                               x2 + y 2 = (r cos ϕ)2 + (r sin ϕ)2 = r2.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                                            π                                 π
                                        Z2           Z3                   Z2           Z3
                                                                                            1  r2 2 
         ZZ
                  2      2                                        2
                  x +y                                        r
              e              dx dy =            dϕ        e r dr =                dϕ           e dr =
                                                                                            2
          D                             0            1                    0            1
                           π                                  π
                       Z2                                 Z2
                   1              h    2 r=3
                                        i            1                                 πe(e8 − 1)
              =                dϕ er            =                 (e9 − e) dϕ =                   .
                   2                     r=1         2                                     4
                       0                                  0
   âÅÚ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÉÑ ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÜÔÏÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉ-
ÓÌÉÔØ, ÔÏÌØËÏ ÐÒÉÍÅÎÑÑ ÍÅÔÏÄÙ ÞÉÓÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ.

Страницы