Кратные интегралы. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 §3. ¥çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ¥ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
Ô.Å. Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁ-
ÌÏ×.
4
Z
0
x dx =
4
2
2
= 8,
e
Z
1
ln y dy = y ln y
e
1
−
e
Z
1
dy = e − e + 1 = 1.
ïÔ×ÅÔ: 8.
óÔÁÒÁÊÔÅÓØ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÐÒÏÝÅÎÉÅ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ
ÒÁÂÏÔÙ.
§3. ¥çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ¥ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
åÓÌÉ f(x, y) > 0 × ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÔÏ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
RR
f(x, y) dS ÒÁ-
×ÅÎ ÏÂßÅÍÕ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÅÌÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ Ó×ÅÒÈÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ
z = f(x, y), ÓÂÏËÕ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ Ó ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ ÐÁÒÁÌ-
ÌÅÌØÎÙÍÉ ÏÓÉ Oz, Á ÓÎÉÚÕ ÏÂÌÁÓÔØÀ D ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Oxy.
÷ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ, ËÏÇÄÁ f(x, y) ≡ 1.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÞÉÓÌÅÎÎÏ (ÅÓÌÉ ÐÒÅÎÅÂÒÅÞØ ÅÄÉÎÉÃÁÍÉ ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ): ÏÂßÅÍ
ÃÉÌÉÎÄÒÁ = ÐÌÏÝÁÄÉ ÏÂÌÁÓÔÉ D =
RR
1 dx dy =
RR
D
dx dy (ÉÌÉ
RR
D
r dr dϕ ×
ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ).
ðÒÉÍÅÒ. îÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ x
3
+ y
3
= axy.
òÅÛÅÎÉÅ.
ìÉÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ (ÏÂÙÞÎÏ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ËÏÎÔÒÏÌØÎÕÀ
ÌÉÎÉÀ ÌÕÞÛÅ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØ ÐÏÓÌÅ ÐÅÒÅÈÏÄÁ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ). îÁÍ
ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÐÅÔÌÅÊ ÌÉÎÉÉ ÐÏ ÒÉÓÕÎËÕ, ÅÓÌÉ a = 1,
ÔÏ S ≈
1
4
, ÄÁÖÅ ÐÏÍÅÎØÛÅ (ÜÔÁ ÐÒÉËÉÄËÁ ÎÁÍ ÐÒÉÇÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ ÐÒÏ×ÅÒËÅ).
8                        §3. ¥çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ¥ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ

Ô.Å. Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÅÍ Ä×ÕÈ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁ-
ÌÏ×.
        Z4                Ze                 e Ze
                  42
           x dx =    = 8,    ln y dy = y ln y − dy = e − e + 1 = 1.
                  2                          1
        0                 1                    1

ïÔ×ÅÔ: 8.

  óÔÁÒÁÊÔÅÓØ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÔÁËÏÅ ÕÐÒÏÝÅÎÉÅ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ËÏÎÔÒÏÌØÎÏÊ
ÒÁÂÏÔÙ.


§3. ¥çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ¥ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
                                                         RR
   åÓÌÉ f (x, y) > 0 × ÏÂÌÁÓÔÉ D, ÔÏ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ       f (x, y) dS ÒÁ-
×ÅÎ ÏÂßÅÍÕ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÏÇÏ ÔÅÌÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ Ó×ÅÒÈÕ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ
z = f (x, y), ÓÂÏËÕ ÃÉÌÉÎÄÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØÀ Ó ÏÂÒÁÚÕÀÝÉÍÉ ÐÁÒÁÌ-
ÌÅÌØÎÙÍÉ ÏÓÉ Oz, Á ÓÎÉÚÕ ÏÂÌÁÓÔØÀ D ÐÌÏÓËÏÓÔÉ Oxy.
   ÷ÁÖÎÙÊ ÞÁÓÔÎÙÊ ÓÌÕÞÁÊ ÜÔÏÊ ÓÉÔÕÁÃÉÉ ×ÏÚÎÉËÁÅÔ, ËÏÇÄÁ f (x, y) ≡ 1.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ, ÞÉÓÌÅÎÎÏ (ÅÓÌÉ ÐÒÅÎÅÂÒÅÞØ
                                   RR       ÅÄÉÎÉÃÁÍÉ
                                                RR     ÉÚÍÅÒÅÎÉÑ):
                                                               RR ÏÂßÅÍ
ÃÉÌÉÎÄÒÁ = ÐÌÏÝÁÄÉ ÏÂÌÁÓÔÉ D =        1 dx dy =    dx dy (ÉÌÉ     r dr dϕ ×
                                                   D            D
ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ).

    ðÒÉÍÅÒ. îÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ ÆÉÇÕÒÙ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÊ ÌÉÎÉÅÊ x3 + y 3 = axy.




òÅÛÅÎÉÅ.
   ìÉÎÉÑ ÉÚÏÂÒÁÖÅÎÁ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ (ÏÂÙÞÎÏ × ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ËÏÎÔÒÏÌØÎÕÀ
ÌÉÎÉÀ ÌÕÞÛÅ ÉÚÏÂÒÁÖÁÔØ ÐÏÓÌÅ ÐÅÒÅÈÏÄÁ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ). îÁÍ
ÎÕÖÎÏ ÎÁÊÔÉ ÐÌÏÝÁÄØ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÕÀ ÐÅÔÌÅÊ ÌÉÎÉÉ ÐÏ ÒÉÓÕÎËÕ, ÅÓÌÉ a = 1,
ÔÏ S ≈ 41 , ÄÁÖÅ ÐÏÍÅÎØÛÅ (ÜÔÁ ÐÒÉËÉÄËÁ ÎÁÍ ÐÒÉÇÏÄÉÔÓÑ ÐÒÉ ÐÒÏ×ÅÒËÅ).

Страницы