ВУЗ:
Рубрика:
§4. ôÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 9
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ x = r cos ϕ, y =
r sin ϕ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
(r cos ϕ)
3
+ (r sin ϕ)
3
= a(r cos ϕ) · (r sin ϕ) ÉÌÉ r =
a sin ϕ cos ϕ
sin
3
ϕ + cos
3
ϕ
.
ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÛÅÊ ÆÉÇÕÒÙ ÎÅ ÍÅÎÑÌÏÓØ ÐÒÉ ÚÁ-
ÍÅÎÅ x ÎÁ y, ÔÏ ÌÉÎÉÑ y = x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓØÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÆÉÇÕÒÙ. úÎÁÞÉÔ, ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÐÌÏÝÁÄØ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ ÎÁÛÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ (ÚÁÛÔÒÉÈÏ×ÁÎÏ
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 0 6 ϕ 6
π
4
É ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ϕ
0 6 r 6
a sin ϕ cos ϕ
sin
3
ϕ + cos
3
ϕ
.
ðÏÜÔÏÍÕ:
S = 2
ZZ
D
r dr dϕ = 2
π
4
Z
0
dϕ
a sin ϕ cos ϕ
sin
3
ϕ+cos
3
ϕ
Z
0
r dr =
= a
2
π
4
Z
0
sin
2
ϕ cos
2
ϕ
sin
3
ϕ + cos
3
ϕ
2
dϕ = a
2
π
4
Z
0
tg
2
ϕ cos
4
ϕ
cos
6
ϕ (1 + tg
3
ϕ)
2
dϕ =
=
a
2
3
π
4
Z
0
3 tg
2
ϕ d tg ϕ
(1 + tg
3
ϕ)
2
=
a
2
3
π
4
Z
0
d
1 + tg
3
ϕ
(1 + tg
3
ϕ)
2
= −
a
2
3 (1 + tg
3
ϕ)
π
4
0
=
a
2
6
.
§4. ôÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
åÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ V × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÔÅÌÏ V ) É ÆÕÎË-
ÃÉÑ f (x, y, z), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × V , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ ××ÏÄÉÔÓÑ
ÐÏÎÑÔÉÅ ÔÒÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. äÁÊÔÅ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÒÏÊÎÏÇÏ
ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ §1) É ÐÒÏÞÉÔÁÊÔÅ ÅÇÏ × ÕÞÅÂÎÉËÅ.
äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÔÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ó×ÏÄÑÔ Ë Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ. ðÒÁ×É-
ÌÏ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÔÒÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ë Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÍÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÌÑ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ
ÔÅÌÁ V , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÞÅÒÅÚ
×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÔÏÞËÕ ÔÅÌÁ V ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oz, ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÔÅ-
ÌÁ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ. ÷ ×ÅÒÈÎÅÊ ÔÏÞËÅ z = u(x, y), Á × ÎÉÖÎÅÊ z = v(x, y), ÇÄÅ
ÆÕÎËÃÉÉ u É v ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÏÂÌÁÓÔÉ D, Á ÏÂÌÁÓÔØ D ¡ ÐÒÏÅËÃÉÑ ÔÅÌÁ V
ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Oxy (ÓÍ. ÒÉÓÕÎÏË).
§4. ôÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 9
ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ Ë ÐÏÌÑÒÎÙÍ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ x = r cos ϕ, y =
r sin ϕ, ÐÏÌÕÞÉÍ:
a sin ϕ cos ϕ
(r cos ϕ)3 + (r sin ϕ)3 = a(r cos ϕ) · (r sin ϕ) ÉÌÉ r = .
sin3 ϕ + cos3 ϕ
ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÅÒ×ÏÎÁÞÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÛÅÊ ÆÉÇÕÒÙ ÎÅ ÍÅÎÑÌÏÓØ ÐÒÉ ÚÁ-
ÍÅÎÅ x ÎÁ y, ÔÏ ÌÉÎÉÑ y = x Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÏÓØÀ ÓÉÍÍÅÔÒÉÉ ÆÉÇÕÒÙ. úÎÁÞÉÔ, ÍÙ
ÍÏÖÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÔØ ÔÏÌØËÏ ÐÌÏÝÁÄØ ÐÏÌÏ×ÉÎÙ ÎÁÛÅÊ ÏÂÌÁÓÔÉ (ÚÁÛÔÒÉÈÏ×ÁÎÏ
ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ 0 6 ϕ 6 π4 É ÐÒÉ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÍ ϕ
a sin ϕ cos ϕ
06r6 .
sin3 ϕ + cos3 ϕ
ðÏÜÔÏÍÕ:
π a sin ϕ cos ϕ
ZZ Z4 sin3 ϕ+cos3 ϕ
Z
S=2 r dr dϕ = 2 dϕ r dr =
D 0 0
π π
4 4
sin2 ϕ cos2 ϕ tg2 ϕ cos4 ϕ
Z Z
2 2
=a 2 dϕ = a 2 dϕ =
3 3
sin ϕ + cos3 ϕ cos6 ϕ (1 + tg ϕ)
0 0
π π
4 4 π
d 1 + tg3 ϕ
2 Z
a 3 tg2 ϕ d tg ϕ a 2 Z
a2 4
a2
= 2 = 2 = − = .
3 (1 + tg3 ϕ) 3 (1 + tg3 ϕ) 3 (1 + tg3 ϕ) 0 6
0 0
§4. ôÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
åÓÌÉ ÄÁÎÁ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ V × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÔÅÌÏ V ) É ÆÕÎË-
ÃÉÑ f (x, y, z), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × V , ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ ××ÏÄÉÔÓÑ
ÐÏÎÑÔÉÅ ÔÒÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. äÁÊÔÅ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅ ÔÒÏÊÎÏÇÏ
ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ (ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ §1) É ÐÒÏÞÉÔÁÊÔÅ ÅÇÏ × ÕÞÅÂÎÉËÅ.
äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÔÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ Ó×ÏÄÑÔ Ë Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÉÎÔÅÇÒÁÌÕ. ðÒÁ×É-
ÌÏ Ó×ÅÄÅÎÉÑ ÔÒÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ Ë Ä×ÏÊÎÏÍÕ ÍÙ ÐÒÉ×ÅÄÅÍ ÄÌÑ ÓÐÅÃÉÁÌØÎÏÇÏ
ÔÅÌÁ V , ÏÂÌÁÄÁÀÝÅÇÏ ÔÅÍ Ó×ÏÊÓÔ×ÏÍ, ÞÔÏ ×ÓÑËÁÑ ÐÒÑÍÁÑ, ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÁÑ ÞÅÒÅÚ
×ÎÕÔÒÅÎÎÀÀ ÔÏÞËÕ ÔÅÌÁ V ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÏ ÏÓÉ Oz, ÐÅÒÅÓÅËÁÅÔ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÔÅ-
ÌÁ × Ä×ÕÈ ÔÏÞËÁÈ. ÷ ×ÅÒÈÎÅÊ ÔÏÞËÅ z = u(x, y), Á × ÎÉÖÎÅÊ z = v(x, y), ÇÄÅ
ÆÕÎËÃÉÉ u É v ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ × ÏÂÌÁÓÔÉ D, Á ÏÂÌÁÓÔØ D ¡ ÐÒÏÅËÃÉÑ ÔÅÌÁ V
ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Oxy (ÓÍ. ÒÉÓÕÎÏË).
