Кратные интегралы. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 7
ä×ÏÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÌÏÝÁÄÅÊ ÐÌÏÓËÉÈ ÆÉ-
ÇÕÒ É ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ÏÂßÅÍÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÔÅÌ, ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ,
Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÍÁÓÓÙ × ÐÌÏÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, Á ÔÁË-
ÖÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ.
ó ÐÏÍÏÝØÀ Ä×ÏÊÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÅ ×ÅÌÉ-
ÞÉÎÙ: ÍÁÓÓÕ m, ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÍÅÎÔÙ M
x
, M
y
, ÍÏÍÅÎÔÙ ÉÎÅÒÃÉÉ J
x
, J
y
,
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÃÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ ÐÌÏÓËÏÊ ÆÉÇÕÒÙ D (x
c
, y
c
) ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ
ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ρ(x, y) ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÓÓÙ ÐÌÏÓËÏÊ ÆÉÇÕÒÙ. ðÕÓÔØ
ÄÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÐÌÏÓËÁÑ ÆÉÇÕÒÁ D, ÔÏÇÄÁ
m =
ZZ
D
ρ(x, y) dx dy ¡ ÍÁÓÓÁ,
M
x
=
ZZ
D
ρ(x, y)y dx dy,
M
y
=
ZZ
D
ρ(x, y)x dx dy,
J
x
=
ZZ
D
y
2
ρ(x, y) dx dy,
J
y
=
ZZ
D
x
2
ρ(x, y) dx dy,
x
c
=
M
y
m
, y
c
=
M
x
m
.
ïÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ×ÔÏÒÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ¡ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÉÌÉ
ÕÓÅÞÅÎÎÙÊ ÓÅËÔÏÒ × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (Ô.Å. ÐÒÅÄÅÌÙ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ), Á ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) = u(x) · v(y) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ
× ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÐÒÉÍÅÒÅ.
ðÒÉÍÅÒ 5. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
RR
D
x ln y dx dy, ÅÓÌÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÑ-
ÍÏÕÇÏÌØÎÉË 0 6 x 6 4, 1 6 y 6 e.
òÅÛÅÎÉÅ.
ïÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É Ë ÔÉÐÕ 1) É Ë ÔÉÐÕ 2).
ZZ
D
x ln y dx dy =
4
Z
0
dx
e
Z
1
x ln y dy =
4
Z
0
x dx
·
e
Z
1
ln y dy
,
§2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ                                   7

   ä×ÏÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ÐÒÉÍÅÎÑÀÔÓÑ ÄÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÐÌÏÝÁÄÅÊ ÐÌÏÓËÉÈ ÆÉ-
ÇÕÒ É ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊ, ÏÂßÅÍÏ× ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÔÅÌ, ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÈ ×ÅÌÉÞÉÎ,
Ó×ÑÚÁÎÎÙÈ Ó ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍ ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÅÍ ÍÁÓÓÙ × ÐÌÏÓËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, Á ÔÁË-
ÖÅ ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÍÎÏÇÉÈ ÄÒÕÇÉÈ ÚÁÄÁÞ.
   ó ÐÏÍÏÝØÀ Ä×ÏÊÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÍÅÈÁÎÉÞÅÓËÉÅ ×ÅÌÉ-
ÞÉÎÙ: ÍÁÓÓÕ m, ÓÔÁÔÉÞÅÓËÉÅ ÍÏÍÅÎÔÙ Mx , My , ÍÏÍÅÎÔÙ ÉÎÅÒÃÉÉ Jx , Jy ,
ËÏÏÒÄÉÎÁÔÙ ÃÅÎÔÒÁ ÔÑÖÅÓÔÉ ÐÌÏÓËÏÊ ÆÉÇÕÒÙ D (xc, yc ) ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÓÞÉÔÁÅÔÓÑ
ÉÚ×ÅÓÔÎÏÊ ÐÌÏÔÎÏÓÔØ ρ(x, y) ÒÁÓÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÍÁÓÓÙ ÐÌÏÓËÏÊ ÆÉÇÕÒÙ. ðÕÓÔØ
ÄÁÎÁ ÎÅËÏÔÏÒÁÑ ÐÌÏÓËÁÑ ÆÉÇÕÒÁ D, ÔÏÇÄÁ
                         ZZ
                     m=       ρ(x, y) dx dy ¡ ÍÁÓÓÁ,
                           D
                                    ZZ                    
                        Mx =              ρ(x, y)y dx dy, 
                                                          
                                                          
                                                          
                                                          
                                 ZDZ
                        My =              ρ(x, y)x dx dy,    
                                                             
                                                             
                                                             
                                                             
                                    D
                                ZZ                          
                        Jx =             y 2 ρ(x, y) dx dy, 
                                                            
                                                            
                                                            
                                                            
                                ZDZ
                        Jy =             x2 ρ(x, y) dx dy,   
                                                             
                                                             
                                                             
                                                             
                                D

                              My         Mx
                           xc =  , yc =      .
                               m         m
   ïÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ×ÔÏÒÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ × ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ
ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ¡ ÐÒÑÍÏÕÇÏÌØÎÉË × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ÉÌÉ
ÕÓÅÞÅÎÎÙÊ ÓÅËÔÏÒ × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ (Ô.Å. ÐÒÅÄÅÌÙ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÐÏÓÔÏÑÎÎÙ), Á ÐÏÄÙÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (x, y) = u(x) · v(y) ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÁ
× ×ÉÄÅ ÐÒÏÉÚ×ÅÄÅÎÉÑ. ðÒÏÄÅÍÏÎÓÔÒÉÒÕÅÍ ÜÔÏ ÎÁ ÐÒÉÍÅÒÅ.
                           RR
  ðÒÉÍÅÒ 5. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ           x ln y dx dy, ÅÓÌÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÑ-
                           D
ÍÏÕÇÏÌØÎÉË 0 6 x 6 4, 1 6 y 6 e.
òÅÛÅÎÉÅ.
  ïÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÏÔÎÏÓÉÔÓÑ É Ë ÔÉÐÕ 1) É Ë ÔÉÐÕ 2).
                        Z4 Ze
                                         4      e        
      ZZ                                 Z           Z
          x ln y dx dy = dx x ln y dy =  x dx ·  ln y dy  ,
       D               0        1                    0           1

Страницы