ВУЗ:
Рубрика:
§4. ôÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 11
ó×ÅÒÈÕ ÔÅÌÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÞÁÓÔØ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ z = x
2
+ y
2
v =
ZZ
D
dx dy
x
2
+y
2
Z
0
dz =
1
Z
0
dx
1−x
Z
0
dy
x
2
+y
2
Z
0
dz.
íÙ Ó×ÅÌÉ ÚÁÄÁÞÕ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÔÒÅÈËÒÁÔÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÇÏ
ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ.
x
2
+y
2
Z
0
dz = x
2
+ y
2
;
1−x
Z
0
x
2
+ y
2
dy =
x
2
y +
y
3
3
1−x
0
= x
2
(1−x)+
(1 − x)
3
3
= −
4
3
x
3
+2x
2
−x+
1
3
;
1
Z
0
−
4
3
x
3
+ 2x
2
− x +
1
3
dx =
−
1
3
x
4
+
2
3
x
3
−
1
2
x
2
+
1
3
x
1
0
=
1
6
.
÷ ÚÁÄÁÞÁÈ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÏ× É ÐÌÏÝÁÄÅÊ ÐÏÌÅÚÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ÐÒÏ-
×ÅÒËÕ. ôÁË, × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉ-
ÄÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ. ïÂßÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÏÊ ÐÉÒÁÍÉÄÙ v
n
(×ÅÒÛÉÎÁ
× ÔÏÞËÅ 0) ÒÁ×ÅÎ
1
3
·
1
√
2
· 1.
äÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï v
n
> v > 0. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
1
3
√
2
>
1
6
> 0.
íÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÅÒÅÎ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ × ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ
ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
V =
ZZ
D
x
2
+ y
2
dx dy,
ÇÄÅ D ¡ ÐÒÏÅËÃÉÑ V ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Oxy.
§4. ôÒÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 11
ó×ÅÒÈÕ ÔÅÌÏ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÞÁÓÔØ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉÄÁ ×ÒÁÝÅÎÉÑ z = x 2 + y 2
2
ZZ xZ +y 2 Z1
2
Z1−x xZ+y
2
v= dx dy dz = dx dy dz.
D 0 0 0 0
íÙ Ó×ÅÌÉ ÚÁÄÁÞÕ Ë ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÔÒÅÈËÒÁÔÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÇÏ
ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ.
2
xZ +y 2
dz = x2 + y 2 ;
0
Z1−x 1−x
y3 (1 − x)3
2 2 4 1
x2 y + = x2(1−x)+ = − x3 +2x2 −x+ ;
x +y dy =
3 0 3 3 3
0
Z1 1
4 3 1 1 2 1 1 1
− x + 2x2 − x + dx = − x4 + x3 − x2 + x = .
3 3 3 3 2 3 0 6
0
÷ ÚÁÄÁÞÁÈ ÎÁ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÏÂßÅÍÏ× É ÐÌÏÝÁÄÅÊ ÐÏÌÅÚÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÅÓÔÉ ÐÒÏ-
×ÅÒËÕ. ôÁË, × ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÒÉÍÅÒÅ ÍÏÖÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔØ ÐÁÒÁÂÏÌÏÉ-
ÄÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØÀ. ïÂßÅÍ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÊ ÞÅÔÙÒÅÈÕÇÏÌØÎÏÊ ÐÉÒÁÍÉÄÙ v n (×ÅÒÛÉÎÁ
1 1
× ÔÏÞËÅ 0) ÒÁ×ÅÎ · √ · 1.
3 2
äÏÌÖÎÏ ÂÙÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï vn > v > 0. äÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏ,
1 1
√ > > 0.
3 2 6
íÏÖÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ ÒÅÚÕÌØÔÁÔ ×ÅÒÅÎ.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ïÂßÅÍ ÔÅÌÁ, ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÇÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÍÉ × ÄÁÎÎÏÊ ÚÁÄÁÞÅ
ÐÏ×ÅÒÈÎÏÓÔÑÍÉ, ÍÏÖÎÏ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÉ ÐÏÍÏÝÉ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
ZZ
x2 + y 2 dx dy,
V =
D
ÇÄÅ D ¡ ÐÒÏÅËÃÉÑ V ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔØ Oxy.
