Кратные интегралы. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

2 §2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
ÐÒÉÞÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
ψ(x)
Z
ϕ(x)
f(x, y) dy, × ËÏÔÏÒÏÍ x ÓÞÉ-
ÔÁÅÔÓÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ.
2) ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ D ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÓÎÉÚÕ É Ó×ÅÒÈÕ ÐÒÑÍÙÍÉ y = c
É y = d, (c < d), Á ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ x = ϕ(y)
É x = ψ(y), [ϕ(y) 6 ψ(y)].
äÌÑ ÔÁËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
(2)
ZZ
D
f(x, y) dx dy =
d
Z
c
dy
ψ(y)
Z
ϕ(y)
f(x, y) dx,
ÐÒÉÞÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
ψ(y)
Z
ϕ(y)
f(x, y) dx, × ËÏÔÏÒÏÍ y ÓÞÉ-
ÔÁÅÔÓÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ.
ðÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌ (1) É (2) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÏ×ÔÏÒÎÙÍÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÂÌÁÓÔØ D ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ×ÉÄ, ÅÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÎÁ ÞÁÓÔÉ
×ÉÄÁ 1) ÉÌÉ 2).
ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
RR
D
(x − y) dx dy, ÅÓÌÉ ÏÂÌÁÓÔØ D ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÌÉ-
ÎÉÑÍÉ y = 2 − x
2
É y = 2x − 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
ðÏÓÔÒÏÉÍ ÏÂÌÁÓÔØ D. ó×ÅÒÈÕ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÐÁÒÁÂÏÌÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ
× ÔÏÞËÅ (0, 2), Á ÓÎÉÚÕ ¡ ÐÒÑÍÁÑ. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ
2 − x
2
= 2x − 1,
ÎÁÊÄÅÍ ÁÂÓÃÉÓÓÙ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÏ×. ðÏÌÕÞÉÍ x = −3 ÉÌÉ x = 1.
ïÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÔÉÐÕ 1). òÁÓÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÐÒÅÄÅÌÙ
2                              §2. ðÒÁ×ÉÌÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ Ä×ÏÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ
                                            ψ(x)
                                            Z
        ÐÒÉÞÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ     f (x, y) dy, × ËÏÔÏÒÏÍ x ÓÞÉ-
                                                      ϕ(x)
        ÔÁÅÔÓÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ.




      2) ÏÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ D ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÓÎÉÚÕ É Ó×ÅÒÈÕ ÐÒÑÍÙÍÉ y = c
         É y = d, (c < d), Á ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ¡ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ ËÒÉ×ÙÍÉ x = ϕ(y)
         É x = ψ(y), [ϕ(y) 6 ψ(y)].
            äÌÑ ÔÁËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ:
                    ZZ                      Zd      ψ(y)
                                                    Z
(2)                      f (x, y) dx dy =        dy     f (x, y) dx,
                     D                      c      ϕ(y)

                                            ψ(y)
                                            Z
        ÐÒÉÞÅÍ ÓÎÁÞÁÌÁ ×ÙÞÉÓÌÑÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌ     f (x, y) dx, × ËÏÔÏÒÏÍ y ÓÞÉ-
                                                      ϕ(y)
      ÔÁÅÔÓÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÙÍ.
   ðÒÁ×ÙÅ ÞÁÓÔÉ ÆÏÒÍÕÌ (1) É (2) ÎÁÚÙ×ÁÀÔÓÑ ÐÏ×ÔÏÒÎÙÍÉ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁÍÉ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ, ËÏÇÄÁ ÏÂÌÁÓÔØ D ÉÍÅÅÔ ÂÏÌÅÅ ÓÌÏÖÎÙÊ ×ÉÄ, ÅÅ ÒÁÚÂÉ×ÁÀÔ ÎÁ ÞÁÓÔÉ
×ÉÄÁ 1) ÉÌÉ 2).
                           RR
   ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ        (x − y) dx dy, ÅÓÌÉ ÏÂÌÁÓÔØ D ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ ÌÉ-
                              D
ÎÉÑÍÉ y = 2 − x2 É y = 2x − 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
   ðÏÓÔÒÏÉÍ ÏÂÌÁÓÔØ D. ó×ÅÒÈÕ ÏÂÌÁÓÔØ ÏÇÒÁÎÉÞÉ×ÁÅÔ ÐÁÒÁÂÏÌÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÏÊ
× ÔÏÞËÅ (0, 2), Á ÓÎÉÚÕ ¡ ÐÒÑÍÁÑ. ðÒÉÒÁ×ÎÉ×ÁÑ
                                  2 − x2 = 2x − 1,
ÎÁÊÄÅÍ ÁÂÓÃÉÓÓÙ ÔÏÞÅË ÐÅÒÅÓÅÞÅÎÉÑ ÇÒÁÆÉËÏ×. ðÏÌÕÞÉÍ x = −3 ÉÌÉ x = 1.
ïÂÌÁÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÉÔ Ë ÔÉÐÕ 1). òÁÓÓÔÁ×ÌÑÅÍ ÐÒÅÄÅÌÙ

Страницы