Курс лекций по основам алгоритмизации и программирования задач машиностроения. Кравченко Д.В. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

111
Метод стрельбы может быть использован как при решении краевых задач
для уравнений высших порядков, так и для систем уравнений.
Использование методов конечных разностей позволяет свести решение
краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгеб-
раических уравнений относительно значений искомой функции на заданном
множестве точек.
Это достигается путем замены производных, входящих в дифференциаль-
ное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.
Решим этим методом дифференциальное уравнение 2 порядка (73) при за-
данных граничных условиях (74).
Разобьем отрезок [0, 1] на n – равных частей точками х
ί
= ίh (ί = 0, 1, …, n).
Решение краевой задачи (73), (74) сведем к вычислению значений сеточ-
ной функции у
ί
в узловых точках х
ί
.
Для этого запишем уравнение (73) для внутренних узлов:
Y''(х
ί
) = f(х
ί
,Y(х
ί
), Y'(х
ί
)), ί = 1, 2, …, n – 1. (79)
Заменим производные, входящие в эти соотношения, их конечно-
разностными аппроксимациями:
Y''(х
ί
) =
2h
y-y
1-i1i+
; Y''(х
ί
) =
2
1-ii1i
h
y2y-y
+
+
. (80)
Подставляя эти выражения в (79), получим систему разностных уравнений:
F(х
ί
, y
ί-1
, y
ί
, y
ί+1
) = 0; ί = 1, 2, … , n – 1, (81)
являющуюся системой (n – 1) алгебраических уравнений относительно значе-
ний сеточной функцией у
1
, у
2
, … , у
n-1
.
Входящие в данную систему y
0
(при ί = 1) и y
n
(при ί = n – 1) берут из гра-
ничных условий, если они заданы непосредственно.
На практике часто граничные условия задаются в более общем виде:
а
1
Y(0) + в
1
Y'(0) = C
1
; (82)
а
2
Y(1) + в
2
Y'(1) = C
2
.
В этом случае граничные условия также должны представляться в разно-
стном виде путем аппроксимации производных Y'(0) и Y'(1) с помощью конеч-
но-разностных соотношений.
Для односторонних разностей:
a
1
y
0
+ b
1
h
yy
01
−
= C
1
;
a
2
y
n
+ b
2
h
yy
1-nn
−
= C
2
. (83)
Отсюда легко найти у
0
и у
n
.
Однако, предпочтительнее аппроксимировать производные, входящие в
(82), со вторым порядком точности с помощью центральных разностей:

Страницы