ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
112
Y'(0) =
2h
yy
1-1
−
; Y'(1) =
2h
yy
1-n1n
−
+
. (84)
В эти выражения входят значения сеточной функции у
-1
и у
n+1
в так назы-
ваемых фиктивных узлах х
–1
= –h и х
n+1
= 1+h, лежащих вне рассматриваемого
отрезка. В этих узлах искомая функция должна быть определена. Количество не-
известных значений сеточной функции при этом увеличивается на два. Для за-
мыкания системы привлекают еще два разностных уравнения (81) – при ί= 0, n.
Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравне-
ния сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (81). Эта сис-
тема может быть линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно или
нелинейно дифференциальное уравнение (81).
Пример 20. Решить краевую задачу для линейного дифференциального
уравнения 2 порядка
Y''(х) – ρ(х)Y(х) = f(х); (85)
ρ(х) > 0, 0 ≤ х ≤ 1.
Граничные условия
Y(0) = А; Y(1) = В. (86)
Разобьем отрезок [0, 1] на части постоянным шагом h с помощью узлов
х
ί
= ίh(ί = 0, 1, …, n).
Аппроксимируем вторую производную Y'' конечно-разностным соотноше-
нием (80). При этом значения искомой функции в узлах Y(х
ί
) заменяем соответ-
ственно значениями сеточной функции у
i
. Записывая уравнение (85) в каждом
узле с использованием указанных аппроксимаций, получим:
2
1ii1i
h
yy2y
−+
+
−
– ρ(x
ί
)y
ί
= f(x).
Обозначим через ρ
ί
, f
ί
соответственно значения ρ(x
ί
), f(х
ί
). После неслож-
ных преобразований приведем последнее равенство к виду:
y
ί-1
– (2 + h
2
ρ
i
)y
ί
+ y
ί+1
= h
2
f
i
, ί = 1, 2, .., n – 1. (87)
Получилась система (n – 1) линейных уравнений, число которых совпадает
с числом неизвестных значений сеточной функции у
1
, у
2
, … , у
n-1
в узлах.
Ее значения на концах отрезка определены граничными условиями (86):
y
0
= А; y
n
= В. (88)
Решая систему уравнений (87) с учетом условий (88), находим значения
сеточной функции, которые и будут приближенно равны значениям искомой
функции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
