Оценка параметров радиосигналов. Кречетов А.Д - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

6
Требуется измерить постоянное напряжение u на фоне гауссового шума с из-
вестной дисперсией σ
2
по выборочному значению x. Плотность выборки при этом
имеет вид
()
2
2
2
2
2
1
σ
πσ
ux
e)u/x(W
−
−
=
. (11)
Пусть зафиксировано выборочное значение x. Необходимо выяснить, какая
информация о параметре u при этом получена с учётом того, что плотность вероят-
ности функционально задана соотношением (11). Ответ на этот вопрос даёт лога-
рифмическая функция правдоподобия lnL
x
(u), которая получается в результате ло-
гарифмирования (11)
()
()
2
2
2
2
2
σ
πσ
ux
lnuxWln
−
−−=
и отбрасывания слагаемого, независящего от u,
()
2
2
2σ
ux
)u(Lln
x
−
−= . (12)
На рис.3 представлена логарифмическая функция
правдоподобия lnLx(u) при σ
2
= 1. Функция имеет макси-
мум при u=x. Поскольку для нормального закона распре-
деления P(|x-u| ≤ σ) = 0,68, то при σ
2
=1 это эквивалентно
выполнению неравенства: x-1<u< x+1 с доверительной
вероятностью 0,68.
Таким образом, известный вид плотности вероят-
ности позволил придти к выводу, что параметр u нахо-
дится внутри интервала х–1 ≤ u ≤ x+1 с вероятностью 0,68. На рис. 3 это отрезок
прямой АВ, соединяющий ветви параболы на уровне lnLx(u)= -1/2. Отрезок прямой
А’ В’, проведённый на уровне - lnLx(u)= -2, характеризует доверительный интервал
(x-2 < u < x+2), куда при σ
2
=1 параметр u попадает с вероятностью 0,95. Очевидно, в
качестве оценочного значения параметра u может быть взято само значение
)( xux =
)
, являющееся серединой доверительного интервала, что соответствует мак-
симуму функции правдоподобия.
Увеличим объём выборки. Предположим, что временной интервал между вы-
борочными значениями больше интервала корреляции шумового процесса. Тогда
компоненты выборочного вектора Х
Т
= (x
1
,x
2
,…,x
n
) независимы. Число n определяет
объём выборки. Тогда условная плотность вероятности выборочных данных опреде-
ляется соотношением
(
)
2
1
2
2
2
2
1
σ
πσ
∑
=
=
−
−
n
i
i
)ux(
n
e)u/X(W . (13)
Для упрощения анализа предположим, что дисперсия шума σ
2
=1.
Тогда
()
2
1
2
2
1
∑
=
=
−
−
n
i
i
)ux(
n
e)u/X(W
π
. (14)
Внимательно рассмотрим (14), поскольку только из этого выражения может
быть извлечена вся информация о параметре u. Выборочные данные после прове-
дения наблюдения приняли фиксированные значения x
1
, x
2
, … , x
n
(числа). При этих
фиксированных числах исследуем )uX(W как функцию параметра u.
Для этого преобразуем (14) к виду

Страницы