Составители:
Рубрика:
8
рифмической функции правдоподобия, и его целесообразно принять за оценку па-
раметра
∑
=
=
n
i
i
x
n
u
1
1
)
. С увеличением объёма выборки выборочное среднее теснее
группируется вблизи истинного значения параметра u, о чём свидетельствует обост-
рение функции правдоподобия. Поскольку выборочное среднее имеет
такое же среднее значение, как и среднее значение самого распределения, то оцен-
ка
∑
=
=
n
i
i
x
n
u
1
1
)
является несмещённой. Разброс выборочного среднего уменьшается с
увеличением объёма выборки, поэтому оценка
∑
=
=
n
i
i
x
n
u
1
1
)
является состоятельной.
"Хорошие" свойства оценки среднего значения нормального закона распреде-
ления
∑
=
=
n
i
i
x
n
u
1
1
)
, полученной на основе анализа функции правдоподобия, позволя-
ют перейти к формулировке общего метода отыскания оценок максимального прав-
доподобия. Суть метода состоит в следующем. Наблюдаемая выборка Х
Т
=
(x
1
,x
2
,…,x
n
) подставляется в выражение для условной плотности вероятности
)X(W
α
. После подстановки )X(W
α
рассматривается как функция параметра α.
Для подчёркивания важности этого момента часто вводят специальное обозначение
этой функции L
X
(α) и называют эту функцию функцией правдоподобия. Отыскивает-
ся значение параметра α, при котором эта функция достигает максимума. Это зна-
чение параметра α и принимается за оценку.
)(Lmax
x
α
α
при
мп
αα=
)
. (17)
На рис. 5 показан вид функции правдоподобия
для двух значений векторов X’ и X". Поскольку выбороч-
ные векторы случайны, то случайными являются и по-
ложения максимумов функций правдоподобия α
′
)
и α
′′
)
.
Эти значения и являются оценками максимального
правдоподобия параметра α по выборкам X’ и X". Из
рис. 5 видно, что они отличаются от истинного значения
параметра.
Для технических приложений важным является
метод отыскания значения α, при котором функция
правдоподобия достигает максимума. Наилучшим является случай, когда оценку
удаётся найти аналитически, решая уравнение
0
=
α
α
d
)(Llnd
x
при αα
)
= (18)
относительно α: т.е. уравнение преобразуется таким образом, что неизвестный па-
раметр α выражается из (18) как явная функция от выборочных данных x
i
. Получен-
ный алгоритм )X(f=α
)
называется прямоотсчётным. Чаще уравнение (18) является
трансцендентным, и для отыскания оценки α используют алгоритмы численного ре-
шения уравнения на ЭВМ. Такие алгоритмы называются итерационными.
В другой форме (18) можно представить, используя тот факт, что отношение
правдоподобия )/X(W/)/X(W)(
x
0ααλ= , рассматриваемое как функция парамет-
ра сигнала α, имеет максимум в той же точке, что и функция правдоподобия, по-
скольку при фиксированной выборке Х знаменатель является просто числом, кото-
рое изменяет масштаб функции правдоподобия вдоль оси ординат.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
