Составители:
Рубрика:
7
()
.
n
i
nu
i
xu
e
n
i
i
x
e)uX(W
n
2
1
2
2
2
1
2
2
1
∑
=
−
−
∑
=
−
=
π
Обозначим выборочное среднее
∑
=
=
n
i
i
xx
n
1
1
и добавим в показателе первой
экспоненты 2
2
)x(n+ , второй 2
2
)x(n− . Тогда получим
2
2
2
1
22
2
1
)xu(n
e
n
i
)x(n
i
x
e
)(
)u/X(W
n
−
−
∑
=
−
=
−
π
Поскольку первая экспонента от параметра u не зависит, то обозначая
2
1
22
2
1
∑
=
−
−
n
i
)x(n
i
x
e
)(
n
π
через С
X
можно записать
n/
)xu(
e
x
C)u/X(W
2
2
−
−
= . (15)
Логарифмируя (15) и отбрасывая слагаемое, независящее от u, получаем логариф-
мическую функцию правдоподобия ln Lx(u)
2
2
)xu(
n
)u(
x
Lln −−= . (16)
На рис. 4 изображена логарифмическая
функция правдоподобия для выборки объ-
ёма n=5. Для наглядности пунктиром изо-
бражена логарифмическая функция прав-
доподобия для одной выборки. Для со-
вмещения кривых предполагается, что
xx = . Функция правдоподобия для n вы-
борок спадает значительно быстрее при
отклонении от x , чем пунктирная кривая.
Отрезок прямой АВ, соединяющий ветви
параболы на уровне lnLx= -½, по-прежнему
характеризует доверительный интервал
при доверительной вероятности Р =0,68.
При σ
2
=1 величина этого интервала будет
меньше и будет равна
+≤≤−
n
xu
n
x
11
. Это говорит о том, что выборочное
среднее больше концентрируется относительно истинного значения параметра u, и
его следует взять в качестве оценки.
Таким образом, анализ логарифмической функции правдоподобия для сред-
него значения гауссового закона распределения показал, что выборочные данные
"объединились" в выборочное среднее (достаточную статистику). Это выборочное
среднее является значением параметра u, при котором достигается максимум лога
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
