Основы статистической динамики рынка ценных бумаг. Кремер А.И. - 17 стр.

                Sd 2 = 40 ⋅ 0,8170 = 32,68 (руб.). Решение закончено.
      Для бинарного дерева характерно то, что переход в любую промежуточную
точку ветвления не зависит от траектории, по которой мы в нее попали. Важно
лишь общее количество подъемов и спадов, которое претерпевает цена акции на
пути в эту точку.
      Если мы не используем дополнительных вероятностных моделей риска уча-
стников рынка, то бинарное дерево отображает последовательность независимых
испытаний (схему Бернулли): на каждом интервале длительностью ∆t как будто
происходит случайный опыт, в результате которого цена акции может либо воз-
расти, либо уменьшиться. При этом «траектории» движения цен характеризуются
случайными блужданиями по решетке, образованной ветвями бинарного дерева.
Решетка, по которой происходят эти блуждания, может быть сколь угодно об-
ширной, поскольку необязательно выбирать интервалы длиной в один месяц или
год. На самом деле структура биномиальной модели зависит только от нашего
выбора, и мы может задать шаги любой длины ∆t – суточные, часовые, минутные
и т.п. Чем короче выбранный шаг, тем точнее биномиальная модель.
      Рассмотрим теперь биномиальную модель на периоде длиной n ⋅ ∆t ( n ин-

тервалов наблюдения), не предполагая, что обязательно u = 1 d . По завершении

этого периода общее выражение для цены акции можно записать как Su j d n− j .
Такая курсовая цена акции сложится, если на пути в соответствующую точку де-
рева произойдет j подъемов и n − j спадов цены. Поскольку подъем происходит
с вероятностью p , а спад с вероятностью 1 − p , то вероятность формирования
подобной траектории будет равна, в силу независимости случайных подъемов и

спадов, p j (1 − p) n− j . При этом порядок подъемов и спадов не имеет значения.
Количество траекторий блуждания по решетке, приводящих в выбранную точку
дерева, определяется обычным биномиальным коэффициентом -
                                           n!
                             C nj =                .                        (3)
                                      j!( n − j )!


                                                                              17