Криволинейные интегралы второго рода. - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
§1. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÓÉÌÏ×ÏÇÏ ÐÏÌÑ ÐÒÉ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ
ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ×ÄÏÌØ ÐÕÔÉ l. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Á (ÐÌÏÓËÏÓÔÉ) ÚÁÄÁÎ ×ÅËÔÏÒ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÎÁ
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ) ÚÁÄÁÎÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÏÌÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÅËÔÏÒ,
ÚÁÄÁÎÎÙÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ËÁË ÓÉÌÕ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÁ ÍÁÔÅ-
ÒÉÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ, ÐÏÍÅÝÅÎÎÕÀ × ÜÔÕ ÔÏÞËÕ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. åÓÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÓÉÓÔÅ-
ÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÚÁÄÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÚÁÄÁÎÉÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÜÔÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÚÁÄÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ (ÐÒÉ
ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Oxy) ÚÁÄÁÎÉÀ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ F
1
É F
2
:
~
F (x, y) = (F
1
(x, y), F
2
(x, y)) .
ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ l ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ y = f (x). òÁÚÏÂØÅÍ ËÒÉ×ÕÀ l ÎÁ n ÞÁ-
ÓÔÅÊ ÔÏÞËÁÍÉ (M
0
, M
1
, . . . , M
n
) É ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÄÕÇÅ M
i−1
M
i
×ÙÂÅÒÅÍ ÔÏÞËÕ P
i
.
åÓÌÉ ÄÌÉÎÁ –l
i
ÏÔÒÅÚËÁ ËÒÉ×ÏÊ M
i−1
M
i
ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÂÌÉ-
ÖÅÎÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÅ ÐÏ ÄÕÇÅ ^ M
i−1
M
i
ÎÁ ÐÒÑÍÏ-
ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÅ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ
−−−−−→
M
i−1
M
i
, Á ÓÉÌÕ
~
F ÓÞÉÔÁÔØ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ É
ÒÁ×ÎÏÊ
~
F (P
i
) (ÓÍ. ÒÉÓÕÎÏË). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÂÏÔÁ –A
i
ÐÒÉ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ
×ÄÏÌØ ÄÕÇÉ ^ M
i−1
M
i
ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
(1) –A
i
∼
=
~
F (P
i
),
−−−−−→
M
i−1
M
i
.
åÓÌÉ ((x
0
, y
0
), . . . , (x
n
, y
n
)) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ
(M
0
, . . . , M
n
), Á (x
∗
i
, y
∗
i
) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ P
i
, ÔÏ ÆÏÒ-
1
           ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ

§1. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÚÁÄÁÞÕ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÒÁÂÏÔÙ ÓÉÌÏ×ÏÇÏ ÐÏÌÑ ÐÒÉ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ
ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ ×ÄÏÌØ ÐÕÔÉ l. îÁÐÏÍÎÉÍ, ÞÔÏ ÅÓÌÉ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏ-
ÓÔÒÁÎÓÔ×Á (ÐÌÏÓËÏÓÔÉ) ÚÁÄÁÎ ×ÅËÔÏÒ, ÔÏ ÇÏ×ÏÒÑÔ, ÞÔÏ × ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Å (ÎÁ
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ) ÚÁÄÁÎÏ ×ÅËÔÏÒÎÏÅ ÐÏÌÅ. íÙ ÂÕÄÅÍ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÉÒÏ×ÁÔØ ×ÅËÔÏÒ,
ÚÁÄÁÎÎÙÊ × ÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞËÅ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á, ËÁË ÓÉÌÕ, ÄÅÊÓÔ×ÕÀÝÕÀ ÎÁ ÍÁÔÅ-
ÒÉÁÌØÎÕÀ ÔÏÞËÕ, ÐÏÍÅÝÅÎÎÕÀ × ÜÔÕ ÔÏÞËÕ ÐÒÏÓÔÒÁÎÓÔ×Á. åÓÌÉ ÚÁÄÁÎÁ ÓÉÓÔÅ-
ÍÁ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÔÏ ÚÁÄÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÁ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ ÚÁÄÁÎÉÀ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ ÜÔÏÇÏ
×ÅËÔÏÒÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÚÁÄÁÎÉÅ ×ÅËÔÏÒÎÏÇÏ ÐÏÌÑ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏ (ÐÒÉ
ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÊ ÓÉÓÔÅÍÅ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ Oxy) ÚÁÄÁÎÉÀ Ä×ÕÈ ÆÕÎËÃÉÊ F 1 É F2:
                          F~ (x, y) = (F1 (x, y), F2(x, y)) .
ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ l ÚÁÄÁÅÔÓÑ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅÍ y = f (x). òÁÚÏÂØÅÍ ËÒÉ×ÕÀ l ÎÁ n ÞÁ-
ÓÔÅÊ ÔÏÞËÁÍÉ (M0 , M1, . . . , Mn) É ÎÁ ËÁÖÄÏÊ ÄÕÇÅ Mi−1Mi ×ÙÂÅÒÅÍ ÔÏÞËÕ Pi .
åÓÌÉ ÄÌÉÎÁ –li ÏÔÒÅÚËÁ ËÒÉ×ÏÊ Mi−1Mi ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÍÁÌÁ, ÔÏ ÍÏÖÎÏ ÐÒÉÂÌÉ-
ÖÅÎÎÏ ÚÁÍÅÎÉÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÅ ÐÏ ÄÕÇÅ ^ M i−1Mi ÎÁ ÐÒÑÍÏ-
                                      −−−−−→
ÌÉÎÅÊÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÅ ÎÁ ×ÅËÔÏÒ Mi−1 Mi , Á ÓÉÌÕ F~ ÓÞÉÔÁÔØ ÐÏÓÔÏÑÎÎÏÊ É
ÒÁ×ÎÏÊ F~ (Pi ) (ÓÍ. ÒÉÓÕÎÏË). ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÁÂÏÔÁ –Ai ÐÒÉ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÉ




×ÄÏÌØ ÄÕÇÉ ^ Mi−1Mi ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ×ÙÞÉÓÌÅÎÁ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
                          ∼
                            
                              ~     −−−−−→
(1)                   –Ai = F (Pi), Mi−1Mi .

  åÓÌÉ ((x0, y0), . . . , (xn, yn)) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ
(M0 , . . . , Mn), Á (x∗i , yi∗ ) ÚÎÁÞÅÎÉÑ ËÏÏÒÄÉÎÁÔ, ÏÔ×ÅÞÁÀÝÉÅ ÔÏÞËÁÍ Pi , ÔÏ ÆÏÒ-
                                               1

Страницы