Криволинейные интегралы второго рода. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

2 §1. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ
ÍÕÌÁ (1) ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄ
–A
i
∼
=
F
1
(x
∗
i
, y
∗
i
) –x
i
+ F
2
(x
∗
i
, y
∗
i
) –y
i
,
ÇÄÅ –x
i
= x
i
− x
i−1
, –y
i
= y
i
− y
i−1
. ðÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×Á× ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ –A
i
ÐÏ
i = (1, 2, . . . n), ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ ×ÄÏÌØ ÐÕÔÉ l:
–A
i
∼
=
n
X
i=1
[F
1
(x
∗
i
, y
∗
i
) –x
i
+ F
2
(x
∗
i
, y
∗
i
) –y
i
] .
åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ d → 0 (d = max
16i6n
–l
i
) ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÏÞÎÕÀ
ÆÏÒÍÕÌÕ
A = lim
d→0
n
X
i=1
[F
1
(x
∗
i
, y
∗
i
) –x
i
+ F
2
(x
∗
i
, y
∗
i
) –y
i
] .
ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÏÔÉ×ÁÃÉÅÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ P (x, y) É Q(x, y) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÔÏÞËÁÈ ÄÕÇÉ AB ËÒÉ×ÏÊ
l, ÉÍÅÀÝÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y = f(x) (a < x < b).
ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ (ÉÌÉ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ
ÐÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ) ÏÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ P (x, y) dx + Q(x, y) dy ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÄÕ-
ÇÅ AB ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ max
16i6n
–x
i
→ 0,
max
16i6n
–y
i
→ 0:
(2)
Z
^AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = lim
max –x
i
→ 0
max –y
i
→ 0
n
X
i=1
[P (x
i
, y
i
)–x
i
+ Q(x
i
, y
i
)–y
i
]
ôÏ ÅÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ ÅÓÔØ ÒÁÂÏÔÁ, ÓÏ×ÅÒÛÁÅÍÁÑ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÉÌÏÊ
~
F = P (x, y)
~
i + Q(x, y)
~
j ÎÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÍ ÐÕÔÉ AB.
ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÎÁ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖ-
ÎÙÊ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
Z
AB
= −
Z
BA
.
ëÒÉ×ÕÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÞÁÓÔÉ
Z
AB
=
Z
AC
+
Z
CB
.
2                                      §1. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ

ÍÕÌÁ (1) ÐÒÉÏÂÒÅÔÁÅÔ ×ÉÄ

                       –Ai ∼
                           = F1 (x∗i , yi∗ ) –xi + F2 (x∗i , yi∗ ) –yi ,
ÇÄÅ –xi = xi − xi−1, –yi = yi − yi−1. ðÒÏÓÕÍÍÉÒÏ×Á× ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ ÄÌÑ –Ai ÐÏ
i = (1, 2, . . . n), ÐÏÌÕÞÉÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÕÀ ÆÏÒÍÕÌÕ ÄÌÑ ÒÁÂÏÔÙ ×ÄÏÌØ ÐÕÔÉ l:
                            n
                    –Ai ∼
                            X
                        =           [F1 (x∗i , yi∗) –xi + F2 (x∗i , yi∗) –yi] .
                              i=1

åÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÏÖÉÄÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ d → 0 (d = max –li) ÍÙ ÐÏÌÕÞÉÍ ÔÏÞÎÕÀ
                                                            16i6n
ÆÏÒÍÕÌÕ
                              n
                              X
                   A = lim          [F1 (x∗i , yi∗ ) –xi + F2 (x∗i , yi∗ ) –yi ] .
                        d→0
                              i=1

ðÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÅ ÒÁÓÓÕÖÄÅÎÉÑ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÏÔÉ×ÁÃÉÅÊ ÓÌÅÄÕÀÝÅÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ.
    ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ P (x, y) É Q(x, y) ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÔÏÞËÁÈ ÄÕÇÉ AB ËÒÉ×ÏÊ
l, ÉÍÅÀÝÅÊ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ y = f (x) (a < x < b).
    ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ (ÉÌÉ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ
ÐÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ) ÏÔ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ P (x, y) dx + Q(x, y) dy ÐÏ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÏÊ ÄÕ-
ÇÅ AB ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅÄÅÌ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ ÐÒÉ ÕÓÌÏ×ÉÉ max –xi → 0,
                                                                                     16i6n
max –yi → 0:
16i6n
(2)
  Z                                                        n
                                                           X
        P (x, y) dx + Q(x, y) dy =          lim                   [P (xi, yi)–xi + Q(xi, yi )–yi]
                                        max –xi → 0         i=1
^AB
                                        max –yi → 0

   ôÏ ÅÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ ÅÓÔØ ÒÁÂÏÔÁ, ÓÏ×ÅÒÛÁÅÍÁÑ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÉÌÏÊ F~ = P (x, y)~i + Q(x, y)~j ÎÁ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÍ ÐÕÔÉ AB.
   ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÍ ÍÅÎÑÅÔ ÚÎÁË ÎÁ ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖ-
ÎÙÊ ÐÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
                                  Z       Z
                                    =− .
                                          AB        BA

ëÒÉ×ÕÀ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÎÏ ÒÁÚÂÉÔØ ÎÁ ÞÁÓÔÉ
                          Z    Z    Z
                             =    + .
                                        AB     AC     CB

Страницы