Криволинейные интегралы второго рода. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 §1. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ
ðÒÉÍÅÒ 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
^AB
(xy − 1) dx + x
2
y dy
ÏÔ ÔÏÞËÉ A(1, 2) ÄÏ ÔÏÞËÉ B(2, 4) ÐÏ ÐÒÑÍÏÊ AB.
òÅÛÅÎÉÅ.
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ AB:
x − x
A
x
B
− x
A
=
y − y
A
y
B
− y
A
=⇒
x − 1
1
=
y − 2
2
=⇒ y = 2x.
óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (3) É, Ô.Ë. dy = y
0
dx = 2 dx,
Z
^AB
(x · 2x − 1) dx + x
2
· 2x · 2 dx =
2
Z
1
2x
2
− 1 + 4x
3
dx =
=
2
3
x
3
− x + x
4
2
1
=
56
3
.
ðÒÉÍÅÒ 3. äÁÎÙ ÔÏÞËÉ O(0, 0, 0) É B(−2, 4, 5). ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊ-
ÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
xy
2
dx + yz
2
dy − zx
2
dz
ÐÏ ÐÒÑÍÏÊ OB.
òÅÛÅÎÉÅ.
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÒÑÍÏÊ OB
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
=
z − z
1
z
2
− z
1
=⇒
x
−2
=
y
4
=
z
5
.
ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÑ ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
x
−2
=
y
4
=
z
5
= t =⇒ x = −2t, y = 4t, z = 5t, 0 6 t 6 1.
äÁÌÅÅ, ×ÙÞÉÓÌÑÑ ÄÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ (5), ÐÏÌÕÞÉÍ
Z
^AB
xy
2
dx + yz
2
dy − zx
2
dz =
1
Z
0
364t
3
dt = 91.
4                                  §1. ëÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ

    ðÒÉÍÅÒ 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                        Z
                          (xy − 1) dx + x2y dy
                            ^AB

ÏÔ ÔÏÞËÉ A(1, 2) ÄÏ ÔÏÞËÉ B(2, 4) ÐÏ ÐÒÑÍÏÊ AB.
òÅÛÅÎÉÅ.
   óÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ AB:
         x − xA      y − yA          x−1 y−2
                  =           =⇒          =                           =⇒   y = 2x.
        xB − x A    yB − y A           1      2
óÏÇÌÁÓÎÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (3) É, Ô.Ë. dy = y 0 dx = 2 dx,
          Z                                           Z2
              (x · 2x − 1) dx + x2 · 2x · 2 dx =               2x2 − 1 + 4x3 dx =
                                                                            

        ^AB                                           1
                                                    2
                                   2 3                         56
                           =         x − x + x4           =       .
                                   3                  1        3



  ðÒÉÍÅÒ 3. äÁÎÙ ÔÏÞËÉ O(0, 0, 0) É B(−2, 4, 5). ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊ-
ÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ        Z
                      xy 2 dx + yz 2 dy − zx2 dz
ÐÏ ÐÒÑÍÏÊ OB.
òÅÛÅÎÉÅ.
   óÏÓÔÁ×ÉÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÒÑÍÏÊ OB
             x − x1    y − y1     z − z1                         x  y z
                     =          =                     =⇒           = = .
            x2 − x 1   y2 − y 1   z2 − z 1                       −2 4 5
ðÁÒÁÍÅÔÒÉÚÕÑ ÜÔÉ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÏÌÕÞÉÍ
        x    y   z
           = = = t =⇒ x = −2t, y = 4t, z = 5t, 0 6 t 6 1.
        −2 4     5
äÁÌÅÅ, ×ÙÞÉÓÌÑÑ ÄÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ (5), ÐÏÌÕÞÉÍ
                Z                                         Z1
                     xy 2 dx + yz 2 dy − zx2 dz =              364t3 dt = 91.
               ^AB                                        0

Страницы