ВУЗ:
Рубрика:
6 §2. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ. . .
ìÅÊÂÎÉÃÁ
(x
1
,y
1
)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy =
(x
1
,y
1
)
Z
(x
0
,y
0
)
dϕ = ϕ(x, y)|
(x
1
,y
1
)
(x
0
,y
0
)
= ϕ(x
1
, y
1
) − ϕ(x
0
, y
0
),
ÇÄÅ P dx + Q dy = dϕ.
æÕÎËÃÉÀ ϕ = ϕ(x, y) ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
ϕ(x, y) =
(x,y)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy,
ÇÄÅ M
0
(x
0
, y
0
) ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÂÌÁÓÔÉ D. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å
ÌÉÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÔÏÞËÉ
M
0
(x
0
, y
0
) É M (x, y), Ú×ÅÎØÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÏÓÑÍ (ÓÍ.
ÒÉÓÕÎÏË).
ôÏÇÄÁ
(x,y)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy =
Z
M
0
P
P dx + Q dy +
Z
P M
P dx + Q dy.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔËÁ M
0
P : dy = 0, Ô.Ë. y
0
= const, Á ÄÌÑ ÕÞÁÓÔËÁ P M:
dx = 0, Ô.Ë. x = const. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
ϕ(x, y) =
(x,y)
Z
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy =
x
Z
x
0
P (x, y
0
) dx +
y
Z
y
0
Q(x, y) dy.
6 §2. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ. . .
ìÅÊÂÎÉÃÁ
(xZ1 ,y1 ) (xZ1 ,y1 )
(x ,y )
P dx + Q dy = dϕ = ϕ(x, y)|(x01 ,y01 ) = ϕ(x1, y1) − ϕ(x0, y0),
(x0 ,y0 ) (x0 ,y0 )
ÇÄÅ P dx + Q dy = dϕ.
æÕÎËÃÉÀ ϕ = ϕ(x, y) ÍÏÖÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ ÉÚ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á
(x,y)
Z
ϕ(x, y) = P dx + Q dy,
(x0 ,y0 )
ÇÄÅ M0 (x0, y0) ¡ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÁÑ ÔÏÞËÁ ÏÂÌÁÓÔÉ D. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å
ÌÉÎÉÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÚÄÅÓØ ÍÏÖÎÏ ×ÚÑÔØ ÌÏÍÁÎÕÀ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÔÏÞËÉ
M0 (x0, y0) É M (x, y), Ú×ÅÎØÑ ËÏÔÏÒÏÊ ÐÁÒÁÌÌÅÌØÎÙ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÎÙÍ ÏÓÑÍ (ÓÍ.
ÒÉÓÕÎÏË).
ôÏÇÄÁ
(x,y)
Z Z Z
P dx + Q dy = P dx + Q dy + P dx + Q dy.
(x0 ,y0 ) M0 P PM
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÕÞÁÓÔËÁ M0 P : dy = 0, Ô.Ë. y0 = const, Á ÄÌÑ ÕÞÁÓÔËÁ P M :
dx = 0, Ô.Ë. x = const. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
(x,y)
Z Zx Zy
ϕ(x, y) = P dx + Q dy = P (x, y0) dx + Q(x, y) dy.
(x0 ,y0 ) x0 y0
