Криволинейные интегралы второго рода. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 §3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
I
C
2
x
2
+ y
2
dx + (x + y)
2
dy =
ZZ
D
2(x − y)dx dy,
ÇÄÅ ÏÂÌÁÓÔØ D ¡ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC.
õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ AB: y = x, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ BC: y = 4 − x. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ
Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ
ZZ
D
2(x − y)dx dy = 2
2
Z
1
dx
−x+4
Z
x
(x − y) dy = −
4
3
.
ðÒÉÍÅÒ 2. ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÉÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
l
(2x + y)dx + (y − x)dy,
×ÚÑÔÙÊ ÐÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ x
2
+ y
2
= R
2
, ÐÒÏÈÏÄÉÍÏÊ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ.
ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (1) ÉÍÅÅÍ
Z
l
(2x+y)dx+(y−x)dy =
ZZ
D
∂
∂x
(y − x) −
∂
∂y
(2x + y)
dx dy = −2
ZZ
D
dx dy,
ÇÄÅ D ¡ ËÒÕÇ x
2
+y
2
6 R
2
. ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÌÏÝÁÄØ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÒÁ×ÎÁ
RR
D
dx dy =
= πR
2
, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
Z
l
(2x + y)dx + (y − x)dy = −2πR
2
.
8                                                              §3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ




ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
           I                               ZZ
                                     2
              2 x2 + y 2 dx + (x + y) dy =
                        
                                              2(x − y)dx dy,
            C                                         D
ÇÄÅ ÏÂÌÁÓÔØ D ¡ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉË ABC.
   õÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÒÑÍÏÊ AB: y = x, ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ BC: y = 4 − x. ÷ÙÞÉÓÌÑÅÍ
Ä×ÏÊÎÏÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ÄÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ
                                        Z2        −x+4
                                                                    4
             ZZ                                   Z
                    2(x − y)dx dy = 2        dx       (x − y) dy = − .
                                                                    3
                D                       1         x




    ðÒÉÍÅÒ 2. ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÉÎÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                      Z
                        (2x + y)dx + (y − x)dy,
                           l

×ÚÑÔÙÊ ÐÏ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ x2 + y 2 = R2, ÐÒÏÈÏÄÉÍÏÊ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ.
   ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ (1) ÉÍÅÅÍ
Z                      ZZ                                   ZZ
                              ∂          ∂
  (2x+y)dx+(y−x)dy =            (y − x) − (2x + y) dx dy = −2     dx dy,
                             ∂x          ∂y
l                          D                                              D

ÇÄÅ D ¡ ËÒÕÇ x2 +y 2 6 R2 . ðÏÓËÏÌØËÕ ÐÌÏÝÁÄØ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÒÁ×ÎÁ
                                                                         RR
                                                                              dx dy =
                                                                         D
= πR2 , ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                    Z
                      (2x + y)dx + (y − x)dy = −2πR2 .
                      l

Страницы