Криволинейные интегралы второго рода. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ 7
ðÒÉÍÅÒ. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅ-
ÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÇÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ:
(2,3)
Z
(−1,2)
x dy + y dx.
òÅÛÅÎÉÅ.
úÄÅÓØ P = y, Q = x. ôÁË ËÁË
∂P
∂y
= 1 =
∂Q
∂x
, ÜÔÏÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÁÌÅÅ
ϕ(x, y) =
x
Z
0
P (x, 0) dx +
y
Z
0
Q(x, y) dy =
1
Z
0
0 · dx +
y
Z
0
x dy = xy.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
(2,3)
Z
(−1,2)
x dy + y dx = xy
(2,3)
(−1,2)
= 6 − (−2) = 8.
§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ
åÓÌÉ C ¡ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁÓÔÉ D É ÆÕÎËÃÉÉ P (x, y) É Q(x, y)
×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ
∂Q
∂x
É
∂P
∂y
ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D (×ËÌÀÞÁÑ ÇÒÁÎÉÃÕ C), ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ:
(1)
I
C
P dx + Q dy =
ZZ
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy,
ÐÒÉÞÅÍ ÏÂÈÏÄ ËÏÎÔÕÒÁ C ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ D ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÌÅ×Á.
ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
H
C
2
x
2
+ y
2
dx + (x + y)
2
dy, ÐÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ
çÒÉÎÁ, ÅÓÌÉ C ¡ ËÏÎÔÕÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3),
ÐÒÏÂÅÇÁÅÍÙÊ ÐÒÏÔÉ× ÈÏÄÁ ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ.
÷ ÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ P = 2
x
2
+ y
2
, Q = (x + y)
2
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 2(x + y) − 4y = 2(x − y).
§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ                                                               7

  ðÒÉÍÅÒ. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ, ÞÔÏ ÕËÁÚÁÎÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅ-
ÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ É ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÅÇÏ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÆÏÒÍÕÌÙ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ:
                                       (2,3)
                                       Z
                                               x dy + y dx.
                                     (−1,2)

òÅÛÅÎÉÅ.
                                         ∂Q
  úÄÅÓØ P = y, Q = x. ôÁË ËÁË ∂P∂y = 1 = ∂x , ÜÔÏÔ ÉÎÔÅÇÒÁÌ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ
ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. äÁÌÅÅ
               Zx            Zy              Z1        Zy
      ϕ(x, y) = P (x, 0) dx + Q(x, y) dy = 0 · dx + x dy = xy.
                  0                    0                       0          0
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                   (2,3)
                   Z                                 (2,3)
                           x dy + y dx =        xy            = 6 − (−2) = 8.
                                                     (−1,2)
                 (−1,2)




§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ
   åÓÌÉ C ¡ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁÓÔÉ D É ÆÕÎËÃÉÉ P (x, y) É Q(x, y)
×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ ∂Q    ∂P
                                                        ∂x É ∂y ÎÅ-
ÐÒÅÒÙ×ÎÙ × ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D (×ËÌÀÞÁÑ ÇÒÁÎÉÃÕ C), ÔÏ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á
ÆÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ:
                I               ZZ          
                                     ∂Q ∂P
(1)               P dx + Q dy =         −      dx dy,
                                     ∂x   ∂y
                      C                         D
ÐÒÉÞÅÍ ÏÂÈÏÄ ËÏÎÔÕÒÁ C ×ÙÂÉÒÁÅÔÓÑ ÔÁË, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ D ÏÓÔÁÅÔÓÑ ÓÌÅ×Á.

  ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ 2 x2 + y 2 dx + (x + y)2 dy, ÐÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ
                         H         
                                 C
çÒÉÎÁ, ÅÓÌÉ C ¡ ËÏÎÔÕÒ ÔÒÅÕÇÏÌØÎÉËÁ Ó ×ÅÒÛÉÎÁÍÉ A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3),
ÐÒÏÂÅÇÁÅÍÙÊ ÐÒÏÔÉ× ÈÏÄÁ ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
òÅÛÅÎÉÅ.
  ÷ ÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÇÒÁÌÅ P = 2 x2 + y 2 , Q = (x + y)2. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                                   

                          ∂Q ∂P
                             −    = 2(x + y) − 4y = 2(x − y).
                          ∂x   ∂y

Страницы