Криволинейные интегралы второго рода. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ 9
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÉÎÁ (1) ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ
P (x, y) = −
y
x
2
+ y
2
, Q(x, y) =
x
x
2
+ y
2
É ÏÂÌÁÓÔÉ D: x
2
+ y
2
6 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÄÁÅÔ:
Z
l
−y dx + x dy
x
2
+ y
2
= 2π
(ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ!). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=
x
2
+ y
2
− x · 2x
(x
2
+ y
2
)
2
+
x
2
+ y
2
− 2y · y
(x
2
+ y
2
)
2
= 0
É ÐÏÜÔÏÍÕ
ZZ
D
∂Q(x, y)
∂x
−
∂P (x, y)
∂y
dx dy = 0.
æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÁ-
ÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ P É Q ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒ-
ÄÉÎÁÔ.
§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ                                                   9

   ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÉÎÁ (1) ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ
                                 y                     x
                  P (x, y) = − 2     ,    Q(x, y) =
                              x + y2                x2 + y 2
É ÏÂÌÁÓÔÉ D: x2 + y 2 6 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
   îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÄÁÅÔ:
                              −y dx + x dy
                            Z
                                            = 2π
                                 x2 + y 2
                          l
(ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ!). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ
            ∂Q ∂P     x2 + y 2 − x · 2x x2 + y 2 − 2y · y
               −    =                   +                 =0
            ∂x   ∂y      (x2 + y 2 )2       (x2 + y 2 )2
É ÐÏÜÔÏÍÕ        ZZ                      
                      ∂Q(x, y) ∂P (x, y)
                               −            dx dy = 0.
                        ∂x            ∂y
                   D
   æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÁ-
ÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ P É Q ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒ-
ÄÉÎÁÔ.

Страницы