ВУЗ:
Рубрика:
§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ 9
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÉÎÁ (1) ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ
P (x, y) = −
y
x
2
+ y
2
, Q(x, y) =
x
x
2
+ y
2
É ÏÂÌÁÓÔÉ D: x
2
+ y
2
6 1.
òÅÛÅÎÉÅ.
îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÄÁÅÔ:
Z
l
−y dx + x dy
x
2
+ y
2
= 2π
(ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ!). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=
x
2
+ y
2
− x · 2x
(x
2
+ y
2
)
2
+
x
2
+ y
2
− 2y · y
(x
2
+ y
2
)
2
= 0
É ÐÏÜÔÏÍÕ
ZZ
D
∂Q(x, y)
∂x
−
∂P (x, y)
∂y
dx dy = 0.
æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÁ-
ÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ P É Q ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒ-
ÄÉÎÁÔ.
§3. æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ 9 ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ çÒÉÎÁ (1) ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ y x P (x, y) = − 2 , Q(x, y) = x + y2 x2 + y 2 É ÏÂÌÁÓÔÉ D: x2 + y 2 6 1. òÅÛÅÎÉÅ. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏÅ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÄÁÅÔ: −y dx + x dy Z = 2π x2 + y 2 l (ÐÒÏ×ÅÒØÔÅ!). ó ÄÒÕÇÏÊ ÓÔÏÒÏÎÙ ∂Q ∂P x2 + y 2 − x · 2x x2 + y 2 − 2y · y − = + =0 ∂x ∂y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 É ÐÏÜÔÏÍÕ ZZ ∂Q(x, y) ∂P (x, y) − dx dy = 0. ∂x ∂y D æÏÒÍÕÌÁ çÒÉÎÁ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ. ðÒÉÞÉÎÁ ÜÔÏÇÏ ÚÁËÌÀÞÁ- ÅÔÓÑ × ÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÉ P É Q ÎÅ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÍÉ × ÎÁÞÁÌÅ ËÏÏÒ- ÄÉÎÁÔ.