Криволинейные интегралы второго рода. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ. . . 5
§2. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏ-
ÄÁ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ÐÏ ÅÅ ÐÏÌÎÏÍÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÕ
÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
l
P (x, y) dx + Q(x, y) dy
ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÉÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÚÁÄÁÎ-
ÎÙÅ ÎÁÞÁÌØÎÕÀ M
0
É ËÏÎÅÞÎÕÀ M
1
ÔÏÞËÉ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ÷ÁÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊ-
ÓÔ×Á ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÅÇÏ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ËÁË ÒÁÂÏÔÙ
ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÀ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ × ÓÉÌÏ×ÏÍ ÐÏÌÅ
~
F = P (x, y)
~
i+Q(x, y)
~
j
×ÄÏÌØ ËÒÉ×ÏÊ l (ÓÍ. §1). ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÏÔ ÓÐÏÓÏÂÁ ÓÏ-
ÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË ËÒÉ×ÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÓÉÌÏ×ÏÍ ÐÏÌÅ ÏÔ ÐÕÔÉ ÍÁÔÅÒÉ-
ÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ, Á ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÌÏ×ÏÅ ÐÏÌÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ,
Ô.Å. × ÎÅÍ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁËÏÎ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ.
õÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÐÕÔÉ
ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ D ¡ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (ÜÔÏ ÏÚÎÁ-
ÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÌÉÎÉÑ, ÌÅÖÁÝÁÑ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÓÔÑÎÕÔÁ × ÔÏÞËÕ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ), P = P (x, y) É Q = Q(x, y)
ÆÕÎËÃÉÉ, ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ × D ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ. ôÏ-
ÇÄÁ
R
l
P dx + Q dy ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÒÉ×ÏÊ l ⊂ D (Ô.Å. ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ ÎÁ-
ÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË l), ÅÓÌÉ
H
C
P dx + Q dy = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ
ËÏÎÔÕÒÁ C ⊂ D ⇔
1
×ÙÒÁÖÅÎÉÅ P dx + Q dy Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉ-
ÁÌÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ = ϕ(x, y) × ÏÂÌÁÓÔÉ D ⇔
∂ϕ
∂x
= P ,
∂ϕ
∂y
= Q ⇔
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
× D.
åÓÌÉ
R
l
P dx + Q dy ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÐÕÔÉ l, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ
(x
1
,y
1
)
R
(x
0
,y
0
)
P dx + Q dy, ÇÄÅ M
0
(x
0
, y
0
) ¡ ÎÁÞÁÌØÎÁÑ, Á M
1
(x
1
, y
1
) ¡
ËÏÎÅÞÎÁÑ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ l. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ
1
⇔ ¡ ÚÎÁË ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ
§2. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ. . .                       5

§2. îÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏ-
    ÄÁ ÏÔ ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. îÁÈÏÖÄÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
    ÐÏ ÅÅ ÐÏÌÎÏÍÕ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌÕ

  ÷ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÕÞÁÑÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÊ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                                 Z
                                     P (x, y) dx + Q(x, y) dy
                                 l


ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÔÏÇÏ, ËÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÉÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÚÁÄÁÎ-
ÎÙÅ ÎÁÞÁÌØÎÕÀ M0 É ËÏÎÅÞÎÕÀ M1 ÔÏÞËÉ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. ÷ÁÖÎÏÓÔØ ÜÔÏÇÏ Ó×ÏÊ-
ÓÔ×Á ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÙÔÅËÁÅÔ ÉÚ ÅÇÏ ÉÎÔÅÒÐÒÅÔÁÃÉÉ, ËÁË ÒÁÂÏÔÙ
ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÝÅÎÉÀ ÍÁÔÅÒÉÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ × ÓÉÌÏ×ÏÍ ÐÏÌÅ F~ = P (x, y)~i+ Q(x, y)~j
×ÄÏÌØ ËÒÉ×ÏÊ l (ÓÍ. §1). ðÏÜÔÏÍÕ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÏÔ ÓÐÏÓÏÂÁ ÓÏ-
ÅÄÉÎÅÎÉÑ ÎÁÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË ËÒÉ×ÏÊ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ
ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ÒÁÂÏÔÙ × ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÍ ÓÉÌÏ×ÏÍ ÐÏÌÅ ÏÔ ÐÕÔÉ ÍÁÔÅÒÉ-
ÁÌØÎÏÊ ÔÏÞËÉ, Á ÜÔÏ ÏÚÎÁÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÓÉÌÏ×ÏÅ ÐÏÌÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÔÅÎÃÉÁÌØÎÙÍ,
Ô.Å. × ÎÅÍ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÚÁËÏÎ ÓÏÈÒÁÎÅÎÉÑ ÜÎÅÒÇÉÉ.
   õÓÌÏ×ÉÅ ÎÅÚÁ×ÉÓÉÍÏÓÔÉ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ 2-ÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÐÕÔÉ
ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ. ðÕÓÔØ D ¡ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÁÑ ÏÂÌÁÓÔØ ÎÁ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ (ÜÔÏ ÏÚÎÁ-
ÞÁÅÔ, ÞÔÏ ÌÀÂÁÑ ÚÁÍËÎÕÔÁÑ ÌÉÎÉÑ, ÌÅÖÁÝÁÑ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ
ÓÔÑÎÕÔÁ × ÔÏÞËÕ, ÏÓÔÁ×ÁÑÓØ × ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ), P = P (x, y) É Q = Q(x, y)
ÆÕÎËÃÉÉ,
     R    ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÅ × D ×ÍÅÓÔÅ ÓÏ Ó×ÏÉÍÉ ÞÁÓÔÎÙÍÉ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÍÉ. ôÏ-
ÇÄÁ P dx + Q dy ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ËÒÉ×ÏÊ l ⊂ D (Ô.Å. ÚÁ×ÉÓÉÔ ÌÉÛØ ÏÔ ÎÁ-
     l                           H
ÞÁÌØÎÏÊ É ËÏÎÅÞÎÏÊ ÔÏÞÅË l), ÅÓÌÉ P dx + Q dy = 0 ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ ÚÁÍËÎÕÔÏÇÏ
                                           C
ËÏÎÔÕÒÁ C ⊂ D ⇔1 ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ P dx + Q dy Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÏÌÎÙÍ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉ-
ÁÌÏÍ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ϕ = ϕ(x, y) × ÏÂÌÁÓÔÉ D ⇔ ∂ϕ
                                                  ∂x
                                                     = P , ∂ϕ
                                                           ∂y
                                                              = Q ⇔
∂P   ∂Q
∂y = ∂x × D.
        R
   åÓÌÉ P dx + Q dy ÎÅ ÚÁ×ÉÓÑÔ ÏÔ ÐÕÔÉ l, ÔÏ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ
        l
              (xR
                1 ,y1 )

ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÉÅ               P dx + Q dy, ÇÄÅ M0 (x0, y0) ¡ ÎÁÞÁÌØÎÁÑ, Á M1(x1, y1) ¡
              (x0 ,y0 )
ËÏÎÅÞÎÁÑ ÔÏÞËÉ ËÒÉ×ÏÊ l. ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ


  1⇔ ¡ ÚÎÁË ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ

Страницы