Интегральное исчисление. Кривулин Н.П - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Занятие 4. Интегрирование рациональных функций.
Рациональной функцией )(
x
R
называется функция, равная отноше-
нию двух многочленов:
m
mm
m
mm
n
m
axaxa
bxbxb
xP
xQ
xR
+++
+++
==
−
−
L
L
1
10
1
10
)(
)(
)(
где
nm,
- целые положительные числа; Rab
ji
∈
, . Если nm < , то
)(
x
R
называется правильной дробью, если
nm ≥
, то
)(
x
R
называется
неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знамена-
тель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правиль-
ной дроби. Например,
13
4
2
4
−
+
+
x
x
x
- неправильная дробь. Разделив ее
числитель на знаменатель (по правилу деления многочлена), получим:
13
1433
103
13
4
2
2
2
4
−
+
+−
++−=
−
+
+
x
x
x
xx
x
x
x
Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие.
1. Корни многочлена )(xP
n
- вещественные и различные. Пусть
требуется разложить правильную дробь
)2)(1(
32
−−
−
xxx
x
на простейшие.
Имеем:
21)2)(1(
32
−
+
−
+=
−−
−
x
C
x
B
x
A
xxx
x
.
Если привести дроби из данного разложения к общему
знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной дроби, а
числители в левой и правой частях будут тождественны равными, т.е.
)1()2()2)(1(32
−
+
−
+
−−≡−
x
Cx
x
Bx
x
x
A
x
. (*)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих
частях тождества, получаем систему линейных уравнений: 
        Занятие 4. Интегрирование рациональных функций.
     Рациональной функцией R( x) называется функция, равная отноше-
нию двух многочленов:
                                   Qm ( x) b0 x m + b1 x m −1 + L + bm
                         R( x) =          =
                                   Pn ( x) a 0 x m + a1 x m −1 + L + a m

где m, n - целые положительные числа; bi , a j ∈ R . Если m < n , то R (x)

называется правильной дробью, если                    m ≥ n , то     R (x)   называется
неправильной дробью.
     Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знамена-
тель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правиль-
                                 x4 + 4
ной дроби. Например,                       - неправильная дробь. Разделив ее
                              x 2 + 3x − 1
числитель на знаменатель (по правилу деления многочлена), получим:
                            x4 + 4                     − 33 x + 14
                           2
                                     = x 2 − 3 x + 10 + 2
                          x + 3x − 1                   x + 3x − 1
     Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие.
1. Корни многочлена Pn ( x) - вещественные и различные. Пусть
                                                       2x − 3
требуется разложить правильную дробь                                на простейшие.
                                                  x( x − 1)( x − 2)
Имеем:
                                   2x − 3       A  B     C
                                               = +     +      .
                             x ( x − 1)( x − 2) x x − 1 x − 2
     Если привести дроби из данного разложения к общему
знаменателю, то он совпадает со знаменателем исходной дроби, а
числители в левой и правой частях будут тождественны равными, т.е.
      2 x − 3 ≡ A( x − 1)( x − 2) + Bx( x − 2) + Cx ( x − 1) . (*)
     Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих
частях тождества, получаем систему линейных уравнений:

Страницы