Интегральное исчисление. Кривулин Н.П - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Пример.
∫
+
++
dx
xx
xx
24
5
3
162
. Выделим целую часть:
2424
5
3
1
2
3
162
x
x
x
x
x
xx
+
+=
+
++
=
+
+
++=
+
=
+ 3)3(
1
3
1
222224
x
DCx
x
B
x
A
xxxx
)3(
33)()(
)3(
)3()3()3(
22
23
22
2222
+
+++++
=
+
+++++
xx
BAxxDBxCA
xx
xxxBxAx
3
1
,0,
3
1
,0
13
03
0
0
0
1
2
3
−====
=
=
=+
=+
DCBA
B
A
DB
CA
x
x
x
x
получим
)3(3
1
3
1
)3(
1
2222
+
−=
+ xxxx
, то исходный интеграл примет вид:
∫∫∫
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−+=
+
++
xdxdx
xx
xdx
xx
xx
22
)3(3
1
3
1
2
3
162
2224
5
x
x
arctg
x
x
x
x
dx
x
3
1
3
1
)3(3
1
3
1
2
22
−−=
+
−
∫∫
Задачи для самостоятельного решения.
Интегрирование рациональных выражений
.
1.
∫
−
+
dx
x
x
x
23
3
1
2.
∫
+
+−
dx
x
xx
8
86
3
2
3.
∫
+−
+
dx
x
x
x
x
23
2
2
12
4.
∫
−
−+
dx
x
x
xx
4
8
3
45
5.
∫
−
+−−
dx
x
x
xxx
23
23
122
6.
∫
+−+ )102)(2(
36
2
xxx
dx
7.
∫
++− )1)(12(
4
2
2
xxx
dxx
8.
∫
− )1(
2
xx
dx
9.
∫
+
+
dx
x
x
x
23
2
10.
∫
−
dx
x
x
1
6
3
                      2x5 + 6x + 1
Пример.
                  ∫    x 4 + 3x 2
                                   dx . Выделим целую часть:

          2x5 + 6x + 1          1
            4      2
                       = 2x + 4
           x + 3x            x + 3x 2
            1            1     A B Cx + D
              4  2
                   = 2 2      = + 2+ 2    =
          x + 3x    x ( x + 3) x x   x +3

          Ax ( x 2 + 3) + B ( x 2 + 3) + ( x 2 + 3) x 2 ( A + C ) x 3 + ( B + D ) x 2 + 3 Ax + 3B
                                                       =
                         x 2 ( x 2 + 3)                                x 2 ( x 2 + 3)
x3 A + C = 0
x2 B + D = 0                         1               1
                           A = 0, B = , C = 0, D = −
x1 3 A = 0                           3               3
x0       3B = 1

                       1      1      1
получим               22
                            = 2−     2
                                           , то исходный интеграл примет вид:
                  x ( x + 3) 3 x 3( x + 3)

              2x5 + 6x + 1              ⎛                        ⎞
          ∫                         ∫                                  ∫
                                                  1       1
                           dx =         ⎜⎜ 2 x + 2 −             ⎟⎟dx = 2 2 xdx +
               x 4 + 3x 2                ⎝      3 x  3( x 2
                                                            + 3)  ⎠


          ∫               ∫
               1                   1          2   1   1        x
                   dx −                   = x   −   −    arctg
              3x 2            3( x 2 + 3)         3x 3 x        x



                         Задачи для самостоятельного решения.
                      Интегрирование рациональных выражений.
          x +1
            3
                                                             36dx
1.
     ∫   x3 − x 2
                    dx                        6.
                                                            ∫
                                                  ( x + 2)( x 2 − 2 x + 10)
         x2 − 6x + 8                                       4 x 2 dx
2.
     ∫       x3 + 8
                        dx                    7.
                                                            ∫
                                                  ( x 2 − 2 x + 1)( x + 1)
            2x2 + 1
3.
     ∫   x − 2x + x
          3        2
                         dx                   8.
                                                       dx
                                                            ∫
                                                  x( x 2 − 1)
         x + x −8
          5      4

4.
     ∫     x3 − 4 x
                       dx                     9.
                                                  x
                                                    x+2
                                                    3
                                                       + x 2∫dx
         x3 − 2 x 2 − 2 x + 1
5.
     ∫          x −x
                 3     2
                              dx              10.
                                                     6x
                                                  x 3 −1    ∫
                                                            dx

Страницы