ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∫∫
=++−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−=
+
= cuudu
u
u
udu
u
u
4ln
3
16
3
4
4
4
4
4
4
33
3
2
3
3
5
.4ln
3
16
3
4
4
3
4
3
Сxx ++−=
Вычисление интегралов от тригонометрических функций.
Рассмотрим общую схему вычисления указанный интегралов.
Функция нечетная
относительно
cosx
R (-cos,sinx)=
=R(cos,sinx)
Функция нечетная
относительно
sinx
R(cos,sinx)=
=R(cos,sinx)
Функция четная
относительно
sinx,
cosx
R (-cos,-sinx)=
=R(cos,sinx)
R (cos,sinx) –
общего вида
(универсальная
подстановка)
u=sinx u=cosx u=tgx
2
x
tgu =
x=arcsin u
2
1 u
du
dx
−
=
2
1cos ux −=
x=arccos u
2
1 u
du
dx
−
−=
2
1sin ux −=
x=arctg u
2
1
sin
u
u
x
−
=
2
1
1
cos
u
x
−
=
2
1 u
du
dx
+
=
x=2arctg u
2
2
1
1
cos
u
u
x
+
−
=
2
1
2
sin
u
u
x
+
=
2
1
2
u
du
dx
+
=
Пример 1.
∫
dx
x
x
4
3
sin
cos
R (-cos x,sin x)
≡
R (cos x,sin x) . Так как. функция нечетная относительно cos
x,
применяем подстановку u=sin x, ,
2
1cos ux −= ,
2
1 u
du
dx
−
=
, получим
∫∫∫∫
=++
−
=−=
−
=
−
−−
−
−
Cu
u
u
du
u
du
du
u
u
du
uu
uu
2
3
244
2
24
22
3
1
1
)1(1
.
sin
1
sin
1
3
1
23
C
x
x
++=
∫
+++−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
−
.
2
2
2
ln4
2
1
22
2
2
2
2
2
2
3
C
x
tg
x
tg
x
tg
x
dtg
x
tg
x
tg
x
tg
u5 ⎛ 3 4u 2 ⎞
∫ ∫
4 3 16
=4 3
du = 4 ⎜
⎜ u − 3
⎟
⎟ du = u − ln u 3 + 4 + c =
u +4 ⎝ u + 4⎠ 3 3
4 16
= 4 x 3 − ln 4 x 3 + 4 + С.
3 3
Вычисление интегралов от тригонометрических функций.
Рассмотрим общую схему вычисления указанный интегралов.
Функция нечетная Функция нечетная Функция четная R (cos,sinx) –
относительно cosx относительно sinx относительно sinx, общего вида
R (-cos,sinx)= R(cos,sinx)= cosx (универсальная
=R(cos,sinx) =R(cos,sinx) R (-cos,-sinx)= подстановка)
=R(cos,sinx)
u=sinx u=cosx u=tgx x
u = tg
2
x=arcsin u x=arccos u x=arctg u x=2arctg u
du du u 1 − u2
dx = dx = − sin x = cos x =
1 − u2 1− u2 1 − u2 1 + u2
cos x = 1 − u 2 sin x = 1 − u 2 1 2u
cos x = sin x =
1− u2 1 + u2
du 2du
dx = dx =
1 + u2 1 + u2
cos 3 x
Пример 1.
∫ sin 4 x
dx
R (-cos x,sin x)≡ R (cos x,sin x) . Так как. функция нечетная относительно cos
du
x, применяем подстановку u=sin x, , cos x = 1 − u 2 , dx = , получим
2
1− u
1 − u 2 (1 − u 2 ) 1− u2 u −3
∫ ∫ ∫ u −∫
du du
du = du = = + u −2 + C =
u4 1− u2 u4 4
u 2
−3
1 1 1
= + + C.
3 sin x sin 2 x
3
⎡ ⎤ x
⎢ −3 x ⎥ tg 2
2 x x 1 x
∫
=2 + + tg 2 + C.
⎢tg ⎥ dtg = − + 4 ln tg +
⎢ 2 x 2⎥ 2 x 2 2
tg tg 2
⎣⎢ 2 ⎦⎥ 2
