Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= 27x − 27
x
3
3
+ 9
x
5
5
−
x
7
7
+ C = 27x − 9x
3
+
9
5
x
5
−
x
7
7
+ C.
R
¡
1−x
x
¢
2
dx.
µ
1 − x
x
2
=
µ
1
x
− 1
2
=
1
x
2
−
2
x
+ 1.
Z
µ
1 − x
x
2
dx =
Z
µ
1
x
2
−
2
x
+ 1
dx = −
1
x
− 2 ln |x| + x + C.
R
(1 −
1
x
2
)
p
x
√
xdx.
Z
µ
1 −
1
x
2
q
x
√
xdx =
Z
¡
1 − x
−2
¢
x
3
4
dx =
Z
x
3
4
dx −
Z
x
−
5
4
dx
=
4
7
x
7
4
+
4
x
1
4
+ C.
R
√
x
4
+x
−4
+2
x
3
.
x
4
+ x
−4
+ 2 = (x
2
)
2
+ (x
−2
)
2
+ 2x
2
x
−2
= (x
2
+ x
−2
)
2
.
Z
√
x
4
+ x
−4
+ 2
x
3
dx =
Z
p
(x
2
+ x
−2
)
2
x
3
dx =
Z
x
2
+ x
−2
x
3
dx =
=
Z
µ
1
x
+ x
−5
dx = ln |x| +
x
−4
−4
+ C = ln |x| −
1
4x
4
+ C.
R
x
2
dx
1+x
2
.
                                                             11

(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûå èíòåãðàëû I, II)
             x3      x5 x7                   9     x7
  = 27x − 27     +9 −       + C = 27x − 9x3 + x5 −    + C.
              3       5   7                  5     7
       R ¡ 1−x ¢2
 1631.      x
                  dx.
Ïðåîáðàçóåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ:
             µ        ¶2 µ       ¶2
                1−x         1         1    2
                        =     − 1 = 2 − + 1.
                  x         x         x    x
Èñïîëüçóÿ òàáëè÷íûå èíòåãðàëû I, II è III, ïîëó÷èì:
 Z µ       ¶2      Z µ             ¶
     1−x               1      2             1
              dx =       2
                           − + 1 dx = − − 2 ln |x| + x + C.
       x               x      x             x
         R        p  √
  1636. (1 − x12 ) x xdx.
Ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà ñòåïå-
íåé è òàáëè÷íûé èíòåãðàë II:
Z µ        ¶q           Z                     Z     Z
         1      √           ¡     −2
                                     ¢ 3        3        5
    1− 2       x xdx =        1−x     x dx = x dx − x− 4 dx
                                       4        4
        x
                                  4 7    4
                                 = x 4 + 1 + C.
                                  7     x4
          R   √
  1638.           x4 +x−4 +2
                      x3
                             .
Ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíûé êâàäðàò
ñóììû: x4 + x−4 + 2 = (x2 )2 + (x−2 )2 + 2x2 x−2 = (x2 + x−2 )2 .
Èìååì:
  Z √ 4                  Z p 2                  Z 2
      x + x−4 + 2              (x + x−2 )2         x + x−2
                    dx =                   dx =            dx =
          x3                       x3                x3
     Z µ           ¶
          1     −5                 x−4                1
   =        +x       dx = ln |x| +     + C = ln |x| − 4 + C.
          x                         −4               4x
        R x2 dx
  1639. 1+x2 .
Çàìåòèì, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ åñòü íåïðàâèëüíàÿ äðîáü.

Страницы