Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
cth
2
xdx =
Z
ch
2
x
sh
2
x
dx =
Z
1 + sh
2
x
sh
2
x
dx =
Z
dx
sh
2
x
+
Z
dx =
= −cthx + x + C.
Z
f(x)dx = F (x) + C,
Z
f(ax + b)dx =
1
a
F (ax + b) + C (a 6= 0).
ax + b = u x =
u−b
a
dx =
du
a
Z
f(ax + b)dx =
Z
f(u)
du
a
=
1
a
Z
f(u)du =
1
a
F (u) + C =
=
1
a
f(ax + b) + C.
x
(ax + b)
1
a
R
(2x − 3)
10
dx.
(2x −3)
10
                                                               13

ñâÿçûâàþùèå ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè (ñì. Ïðèëîæåíèå), è
òàáëè÷íûå èíòåãðàëû I, XIII.
  Z           Z            Z                Z        Z
       2        ch2 x        1 + sh2 x         dx
    cth xdx =         dx =             dx =         + dx =
                sh2 x          sh2 x          sh2 x
                         = −cthx + x + C.

5.2. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ââåäåíèÿ íîâîãî àðãóìåíòà.
   çàäà÷å ïîä íîìåðîì 1654 ïðåäëàãàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ôîð-
ìóëû, î÷åíü ÷àñòî èñïîëüçóåìîé ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëîâ.

  1654. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè
                     Z
                         f (x)dx = F (x) + C,
              Z
                               1
         òî    f (ax + b)dx = F (ax + b) + C (a 6= 0).
                              a
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èñïîëüçóåì ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîãî àðãó-
ìåíòà. Ïîëîæèì ax + b = u. Òîãäà x = u−b   a
                                             , dx = du
                                                     a
                                                       . Ïîëó÷èì:
   Z                 Z               Z
                            du     1              1
     f (ax + b)dx = f (u)        =     f (u)du = F (u) + C =
                             a     a              a
                         1
                       = f (ax + b) + C.
                        a
Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðè çàìåíå àðãóìåíòà x ó
ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà ëèíåéíîå âûðàæåíèå (ax + b) èí-
òåãðàë ¾ðåàãèðóåò¿
         R          ïîÿâëåíèåì ìíîæèòåëÿ a1 .
  1656. (2x − 3)10 dx.
Ýòîò èíòåãðàë ìîæíî íàéòè è íå ïðîèçâîäÿ çàìåíû ïåðåìåííîé.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ðàçëîæèòü âûðàæåíèå (2x − 3)10 ïî ôîð-
ìóëå áèíîìà Íüþòîíà è ïðèìåíèòü ìåòîä ðàçëîæåíèÿ. Îäíà-
êî òàêîå ðåøåíèå ñâÿçàíî ñ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì âû÷èñëåíèé.
Ïðè ïîìîùè çàìåíû ïåðåìåíîé ìîæíî ñðàçó ñâåñòè äàííûé èí-
òåãðàë ê òàáëè÷íîìó.

Страницы