Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
2
q
3
2
Z
d
³
q
3
2
x
´
1 −
³
q
3
2
x
´
2
=
=
1
√
6
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 +
q
3
2
x
1 −
q
3
2
x
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
1
2
√
6
ln
¯
¯
¯
¯
¯
√
2 +
√
3x
√
2 −
√
3x
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
u
R
dx
1−cos x
.
1 − cos x = 2 sin
2
x
2
Z
dx
1 − cos x
=
Z
dx
2 sin
2
x
2
=
Z
d(
x
2
)
sin
2
x
2
= −ctg
x
2
+ C.
R
dx
1+sin x
.
1 + sin x = 1 + cos
³
x −
π
2
´
= 2 cos
2
x −
π
2
2
= 2 cos
2
³
x
2
−
π
4
´
.
Z
dx
1 + sin x
=
Z
dx
2 cos
2
¡
x
2
−
π
4
¢
=
Z
d
¡
x
2
−
π
4
¢
cos
2
¡
x
2
−
π
4
¢
=
=
·
dx
2
= d
³
x
2
´
= d
³
x
2
−
π
4
´
¸
=
                                                                        15
                  ³q         ´
         Z    d        3
                         x
  1                    2
= q               ³q         ´2 = (èñïîëüçóåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë XV)
 2 32        1−        3
                         x
                       2
               ¯   q ¯             ¯√        ¯
               ¯1 + 3x¯
          1 1 ¯¯    2 ¯       1    ¯ 2 + √3x ¯
                                   ¯         ¯
       = √ ln ¯    q ¯¯ + C = √ ln ¯ √   √ ¯ + C.
           6 2 ¯1 − 3x¯      2 6 ¯ 2 − 3x ¯
                                 2



  Çàìå÷àíèå. Åñëè íà äàííîì ýòàïå çàíåñåíèå íîâîãî àðãóìåí-
òà ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà âûçûâàåò ó ÷èòàòåëÿ îïðåäåëåííûå
òðóäíîñòè, òî ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî ïðè¼ìà íå ñëåäóåò òîðî-
ïèòüñÿ. Ââîäèòå íîâûé àðãóìåíò u è ïîñëåäîâàòåëüíî îñóùåñòâ-
ëÿéòå çàìåíó ïåðåìåííîãî ïîä çíàêîì èíòåãðàëà, îïèñûâàÿ âñå
øàãè ñ íóæíîé äëÿ Âàñ ñòåïåíüþ äåòàëèçàöèè. Ïîñëå ðåøåíèÿ
îïðåäåëåííîãî êîëè÷åñòâà çàäà÷ Âû ñàìè îùóòèòå ïîòðåáíîñòü
îòêàçàòüñÿ
         R îò    èçëèøíèõ ïîäðîáíîñòåé.
  1669. 1−cos x .
              dx

Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé 1 − cos x = 2 sin2 x2 . Ïîëó÷èì:
       Z                 Z             Z
              dx               dx           d( x2 )           x
                     =           2 x =         2 x = −ctg + C.
           1 − cos x        2 sin 2        sin 2              2
         R dx
  1670. 1+sin x .
Âû÷èñëèì èíòåãðàë äâóìÿ ñïîñîáàìè.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ è äâîéíîãî óãëà, ïðåîáðàçóåì
çíàìåíàòåëü:
                       ³      π´                    π           ³      π´
                                          2 x− 2               2 x
  1 + sin x = 1 + cos x −         = 2 cos              = 2 cos       −    .
                              2                2                   2   4
Òîãäà
       Z               Z                        Z        ¡       ¢
              dx                  dx                   d x2 − π4
                     =            ¡       ¢=               ¡       ¢=
          1 + sin x        2 cos2 x2 − π4             cos2 x2 − π4
                    ·          ³x´       ³ x π ´¸
                      dx
                  =        =d        =d      −            =
                       2         2         2       4

Страницы