Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2x − 3 = u x =
u+3
2
; dx =
du
2
Z
(2x − 3)
10
dx =
Z
u
10
du
2
=
1
2
Z
u
10
du =
1
2
u
11
11
+ C =
=
1
22
(2x − 3)
11
+ C.
Z
x
10
dx =
x
11
11
+ C;
Z
(2x − 3)
10
dx =
h
ax + b = 2x − 3, a = 2
i
=
1
2
(2x − 3)
11
11
+ C.
R
dx
(5x−2)
5
2
.
5x − 2 = u
u
Z
dx
(5x − 2)
5
2
=
1
5
Z
5dx
(5x − 2)
5
2
=
1
5
Z
d(5x)
(5x − 2)
5
2
=
=
1
5
Z
d(5x − 2)
(5x − 2)
5
2
=
1
5
Z
(5x − 2)
−
5
2
d(5x − 2) =
(5x − 2)
=
1
5
µ
−
2
3
(5x − 2)
−
3
2
+ C = −
2
15
1
(5x − 2)
3
2
+ C.
R
dx
2−3x
2
.
Z
dx
2 − 3x
2
=
1
2
Z
dx
1 −
3
2
x
2
=
1
2
Z
dx
1 −
³
q
3
2
x
´
2
=
14

Ïîëîæèì 2x − 3 = u, òîãäà x = u+32
                                    ; dx = du2
                                               . Ïîëó÷èì:
     Z                Z             Z
                            du    1               1 u11
       (2x − 3)10 dx = u10     =       u10 du =         +C =
                             2    2               2 11
                         1
                      = (2x − 3)11 + C.
                        22
Îòìåòèì, ÷òî åùå ïðîùå áûëî áû âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
çàäà÷è 1654:          Z
                                 x11
                        x10 dx =      + C;
                                 11
 Z                  h                      i 1 (2x − 3)11
   (2x − 3)10 dx = ax + b = 2x − 3, a = 2 =                 + C.
                                                 2     11
        R dx
  1659.         5 .
           (5x−2) 2
Ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà òàêæå óäîáíî èñïîëüçîâàòü
ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîãî àðãóìåíòà, ïîëîæèâ 5x − 2 = u. Îäíà-
êî ìû íå áóäåì ââîäèòü u ÿâíî, à èñïîëüçóåì ïðèåì çàíåñåíèÿ
íîâîãî àðãóìåíòà ïîä çíàê äèôôåðåíöèàëà. Èòàê:
        Z                    Z                    Z
               dx          1        5dx         1      d(5x)
                      5 =                 5 =                  5 =
           (5x − 2) 2      5     (5x − 2) 2     5    (5x − 2) 2
               Z                     Z
             1     d(5x − 2)      1                5
          =                  5 =       (5x − 2)− 2 d(5x − 2) =
             5     (5x − 2) 2     5
(ïîëó÷èëè èíòåãðàë îò ñòåïåííîé ôóíêöèè, ïðè÷åì ïîäûíòå-
ãðàëüíîå âûðàæåíèå ïîëíîñòüþ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðàçíîñòü
(5x − 2), èãðàþùóþ ðîëü íîâîãî àðãóìåíòà)
             µ ¶
           1      2               3             2     1
        =       −      (5x − 2)− 2 + C = −                    + C.
           5      3                            15 (5x − 2) 23
         R dx
  1662. 2−3x    2.

Ïðåîáðàçóåì èíòåãðàë ê òàáëè÷íîìó:
        Z                  Z                  Z
               dx        1        dx        1         dx
                    2
                      =             3 2 =            ³q ´2 =
            2 − 3x       2     1 − 2x       2            3
                                                  1−     2
                                                            x

Страницы