Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
2
= x
2
+1 − 1
| {z }
0
= (x
2
+ 1) − 1.
Z
x
2
dx
1 + x
2
=
Z
(x
2
+ 1) − 1
1 + x
2
dx =
Z
dx−
Z
dx
1 + x
2
= x−arctgx+C.
R
√
x
2
+1−
√
x
2
−1
√
x
4
−1
.
√
x
4
− 1 =
p
(x
2
+ 1)(x
2
− 1) =
√
x
2
+ 1
√
x
2
− 1.
Z
√
x
2
+ 1 −
√
x
2
− 1
√
x
4
− 1
=
Z
√
x
2
+ 1 −
√
x
2
− 1
√
x
2
+ 1
√
x
2
− 1
dx =
=
Z
dx
√
x
2
− 1
−
Z
dx
√
x
2
+ 1
= ln |x +
√
x
2
− 1|−ln |x +
√
x
2
+ 1|+
+C = ln
¯
¯
¯
¯
x +
√
x
2
− 1
x +
√
x
2
+ 1
¯
¯
¯
¯
+ C.
R
(2
x
+ 3
x
)
2
dx.
Z
(2
x
+ 3
x
)
2
dx =
Z
(4
x
+ 2 ·6
x
+ 9
x
)dx =
4
x
ln 4
+ 2
6
x
ln 6
+
9
x
ln 9
+ C.
R
tg
2
xdx.
Z
tg
2
xdx =
Z
sin
2
x
cos
2
x
dx =
Z
1 − cos
2
x
cos
2
x
dx =
Z
dx
cos
2
x
−
Z
dx =
= tgx − x + C.
R
cth
2
xdx.
12

Âûäåëèì öåëóþ ÷àñòü,  äëÿ ýòîãî â ÷èñëèòåëå äðîáè äîñòàòî÷-
íî ïðèáàâèòü è âû÷åñòü åäèíèöó: x2 = x2 +1           2
                                        | {z− 1} = (x + 1) − 1.
                                                    0
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì:
Z            Z                    Z    Z
   x2 dx         (x2 + 1) − 1               dx
        2
           =              2
                              dx = dx−           = x−arctgx+C.
  1+x                 1+x                 1 + x2
          R √x2 +1−√x2 −1
  1643.         √
                  x4 −1
                          .
Ïðåîáðàçóåì ðàäèêàë â çíàìåíàòåëå:
         √             p                √       √
           x4 − 1 = (x2 + 1)(x2 − 1) = x2 + 1 x2 − 1.
Ïîëó÷èì:
     Z √                  √           Z √ 2            √
               x2 + 1 − x2 − 1              x + 1 − x2 − 1
                   √                =      √         √           dx =
                     x4 − 1                   x2 + 1 x2 − 1
   Z                Z                        √                    √
           dx               dx
=      √         − √              = ln |x + x2 − 1| − ln |x + x2 + 1|+
          x2 − 1          x2 + 1
                                 ¯     √         ¯
                                 ¯ x + x2 − 1 ¯
                       +C = ln ¯ ¯     √         ¯ + C.
                                   x + x2 + 1 ¯
            R
   1644. (2x + 3x )2 dx.
 ýòîé çàäà÷å èñïîëüçóåòñÿ òàáëè÷íûé èíòåãðàë VI:
Z                      Z
             x 2                                    4x       6x     9x
    (2 + 3 ) dx = (4x + 2 · 6x + 9x )dx =
      x
                                                         +2      +     + C.
                                                   ln 4     ln 6 ln 9
            R
   1650. tg2 xdx.
Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ è òàáëè÷íûå èí-
òåãðàëû I è X, ïîëó÷èì:
  Z              Z               Z                     Z           Z
        2            sin2 x          1 − cos2 x            dx
     tg xdx =               dx =                dx =             − dx =
                    cos2 x             cos2 x             cos2 x
                            = tgx − x + C.
             R
     1653.
        cth xdx. 2

Ïðè âû÷èñëåíèè ýòîãî èíòåãðàëà èñïîëüçóþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ,

Страницы