Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= = tg
³
x
2
−
π
4
´
+ C.
1 + sin x = sin
2
x
2
+ cos
2
x
2
+ 2 sin
x
2
cos
x
2
=
³
sin
x
2
+ cos
x
2
´
2
.
Z
dx
1 + sin x
=
Z
dx
¡
sin
x
2
+ cos
x
2
¢
2
=
Z
dx
cos
2
x
2
¡
tg
x
2
+ 1
¢
2
=
·
dx
cos
2
x
2
= 2
d(
x
2
)
cos
2
x
2
= 2 d
³
tg
x
2
´
= 2 d
³
tg
x
2
+ 1
´
¸
= 2
Z
d
¡
tg
x
2
+ 1
¢
¡
tg
x
2
+ 1
¢
2
= −
2
tg
x
2
+ 1
+ C.
½
−
2
tg
x
2
+ 1
+ C
¾
n
tg
³
x
2
−
π
4
´
+ C
o
−
2
tg
x
2
+ 1
+ 1 = −
2 cos
x
2
sin
x
2
+ cos
x
2
+ 1 =
sin
x
2
− cos
x
2
sin
x
2
+ cos
x
2
=
=
√
2
³
1
√
2
sin
x
2
−
1
√
2
cos
x
2
´
√
2
³
1
√
2
sin
x
2
+
1
√
2
cos
x
2
´
=
sin
x
2
cos
π
4
− cos
x
2
sin
π
4
sin
x
2
sin
π
4
+ cos
x
2
cos
π
4
=
=
sin
¡
x
2
−
π
4
¢
cos
¡
x
2
−
π
4
¢
= tg
³
x
2
−
π
4
´
.
16
                                                         ³x   π´
     = (èñïîëüçóåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë X) = tg                 −    + C.
                                                           2   4
Òåïåðü ýòîò æå èíòåãðàë âû÷èñëèì, èñïîëüçóÿ äðóãèå òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ  îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæ-
äåñòâî è ôîðìóëó äëÿ ñèíóñà äâîéíîãî óãëà. Èòàê,
                     x          x          x     x ³ x             x ´2
  1 + sin x = sin2 + cos2 + 2 sin cos = sin + cos                       .
                     2          2          2     2          2      2
Òîãäà
    Z                Z                         Z
           dx                    dx                       dx
                   =    ¡ x              ¢2 =            ¡ x      ¢2 =
       1 + sin x         sin 2 + cos 2 x               x
                                                  cos2 2 tg 2 + 1
         ·                            ³ x´           ³ x       ´¸
             dx         d( x2 )
                   =2           = 2 d tg       = 2 d tg + 1
           cos2 x2     cos2 x2             2              2
                     Z ¡ x           ¢
                        d tg 2 + 1               2
                 =2      ¡ x        ¢2 = − x          + C.
                          tg + 1             tg 2 + 1
                              2
Ñðàâíèì îáà ïîëó÷åííûõ îòâåòà. Íà ïåðâûé âçãëÿä, îíè ðàç-
ëè÷íû. Îäíàêî ýòî íå òàê. Íàïîìíèì, ÷òî íåîïðåäåëåííûé èí-
òåãðàë åñòü ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé, è ïîêàæåì, ÷òî
ìíîæåñòâà
            ½              ¾   n ³x π ´        o
                   2
             − x        + C è tg      −   +C
               tg 2 + 1             2   4
ñîâïàäàþò. Äåéñòâèòåëüíî:
           2                  2 cos x2               sin x2 − cos x2
      − x       +1=−                       +1=                        =
       tg 2 + 1            sin x2 + cos x2           sin x2 + cos x2
       √ ³1       x      1       x
                                   ´
        2 2 sin 2 − 2 cos 2
             √          √
                                        sin x2 cos π4 − cos x2 sin π4
      =√ ³                         ´=                                  =
        2 √12 sin x2 + √12 cos x2       sin x2 sin π4 + cos x2 cos π4
                        ¡         ¢        ³x π ´
                     sin x2 − π4
                 =       ¡         ¢ = tg       −       .
                     cos x2 − π4             2      4

Страницы