Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
dx
x
√
x
2
−1
.
x
√
x
2
− 1 =
s
x
2
µ
1 −
1
x
2
=
√
x
2
r
1 −
1
x
2
= |x|
r
1 −
1
x
2
.
sgn x =
1 x > 0;
0 x = 0;
−1 x < 0.
|x| = x sgn x;
dx
x|x|
=
1
sgn x
·
dx
x
2
= −
1
sgn x
d
µ
1
x
= −d
µ
1
|x|
.
r
1 −
1
x
2
=
s
1 −
1
|x|
2
.
Z
dx
x
√
x
2
− 1
=
Z
dx
x|x|
q
1 −
1
x
2
= −
Z
d
³
1
|x|
´
q
1 −
1
|x|
2
=
= −arcsin
µ
1
|x|
+ C.
√
x
2
− 1 = u; x
2
− 1 = u
2
; x
2
= u
2
+ 1; xdx = udu.
Z
dx
x
√
x
2
− 1
=
Z
xdx
x
2
√
x
2
− 1
=
Z
udu
(u
2
+ 1)u
=
=
Z
du
u
2
+ 1
= arctg u + C = arctg
√
x
2
− 1 + C.
18
             R
     1683.        √dx
                 x x2 −1
                         .
Âûíåñåì x èç-ïîä çíàêà êîðíÿ:
             s µ          ¶ √ r        r
   √                    1       1           1
     x2 − 1 = x2 1 − 2 = x2 1 − 2 = |x| 1 − 2 .
                       x        x          x
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ
                        
                        
                        1    ïðè x > 0;
                 sgn x = 0    ïðè x = 0;
                        
                        −1 ïðè x < 0.

Òîãäà
                                                         µ ¶      µ ¶
                         dx      1   dx      1            1         1
 |x| = x sgn x;              =      · 2 =−       d           = −d      .
                        x|x|   sgn x x     sgn x          x        |x|
Êðîìå òîãî,                            s
                             r
                                 1               1
                              1− 2 =       1−        .
                                x               |x|2
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì:
                                                           ³ ´
         Z                    Z                 1
                                            d |x|   Z
                    dx      dx
                  √       =q        =− q                =
                 x x2 − 1
                       x|x| 1 − x12          1 − |x|1 2
                               µ ¶
                                 1
                   = − arcsin       + C.
                                |x|
  Îäíàêî, ìîæíî ïîñòóïèòü è ïî-äðóãîìó. Ñäåëàåì çàìåíó ïå-
ðåìåííîé:
    √
      x2 − 1 = u; x2 − 1 = u2 ; x2 = u2 + 1; xdx = udu.
Èìååì:
             Z             Z                Z
                   dx              xdx             udu
                 √       =        √       =       2
                                                          =
                    2
                x x −1          2
                              x x −1 2         (u + 1)u
               Z                               √
                   du
             =          = arctg u +  C = arctg   x2 − 1 + C.
                 u2 + 1

Страницы