Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
dx
√
x(1−x)
.
x(1 − x) > 0 0 < x < 1
p
x(1 − x) =
√
x
√
1 − x.
dx
√
x
= 2 d(
√
x) x = (
√
x)
2
Z
dx
p
x(1 − x)
=
Z
dx
√
x
√
1 − x
= 2
Z
d(
√
x)
√
1 − x
=
= 2
Z
d(
√
x)
p
1 − (
√
x)
2
= 2 arcsin
√
x + C.
R
sin x cos x
√
a
2
sin
2
x+b
2
cos
2
x
dx.
d(a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x) = (2a
2
sin x cos x − 2b
2
cos x sin x)dx =
= 2(a
2
− b
2
) sin x cos xdx
sin x cos x dx =
d(a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x)
2(a
2
− b
2
)
.
Z
sin x cos x
√
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
dx =
1
2(a
2
− b
2
)
Z
d(a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x)
√
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x
=
=
h
a
2
sin
2
x+b
2
cos
2
x = u
i
=
1
2(a
2
− b
2
)
Z
du
√
u
=
1
a
2
− b
2
Z
du
2
√
u
=
                                                                        19

  Çàìå÷àíèå äëÿ ñîìíåâàþùèõñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè îáîèõ ïîëó-
÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ: èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îáðàòíûìè
òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, ìîæíî ñâåñòè ïåðâûé îòâåò
êî âòîðîìó. Îäíàêî åù¼ ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðîâåðêó ïðàâèëü-
íîñòè ñâîåãî îòâåòà íåîáõîäèìî äåëàòü ñ ïîìîùüþ äèôôåðåí-
öèðîâàíèÿ.
        R
  1688. √ dx .x(1−x)
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðà-
âåíñòâîì x(1 − x) > 0, ò.å. 0 < x < 1. Ñëåäîâàòåëüíî,
                   p              √ √
                       x(1 − x) = x 1 − x.
                             √           √
Èñïîëüçóÿ òî, ÷òî √dxx = 2 d( x), à x = ( x)2 , ïîëó÷èì:
        Z                 Z                Z      √
               dx                dx             d( x)
           p           =     √ √        =2 √          =
             x(1 − x)          x 1−x             1−x
                 Z        √
                        d( x)              √
             =2 p           √ 2 = 2 arcsin x + C.
                       1 − ( x)
           R
  1700(à). √ 2 sin2x cos2x 2 dx.
                 a sin x+b cos x
Çàìåòèì, ÷òî
   d(a2 sin2 x + b2 cos2 x) = (2a2 sin x cos x − 2b2 cos x sin x)dx =
                       = 2(a2 − b2 ) sin x cos xdx
è, òàêèì îáðàçîì,
                                   d(a2 sin2 x + b2 cos2 x)
               sin x cos x dx =                             .
                                          2(a2 − b2 )
Èìååì:
Z                                          Z
        sin x cos x                1              d(a2 sin2 x + b2 cos2 x)
  √                       dx =                    √                        =
    a2 sin2 x + b2 cos2 x      2(a2 − b2 )          a2 sin2 x + b2 cos2 x
  h                        i               Z                      Z
    2    2     2    2               1              du        1        du
= a sin x+b cos x = u =                           √ = 2                √ =
                               2(a2 − b2 )          u     a −b  2    2 u

Страницы