Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
sin x
√
cos 2x
dx.
√
2 cos x
cos 2x = 2 cos
2
x − 1 = (
√
2 cos x)
2
− 1,
sin xdx = −d(cos x) = −
1
√
2
d(
√
2 cos x).
Z
sin x
√
cos 2x
dx = −
1
√
2
Z
d(
√
2 cos x)
q
(
√
2 cos x)
2
− 1
=
= −
1
√
2
ln
¯
¯
¯
√
2 cos x +
√
2 cos
2
x − 1
¯
¯
¯
+ C =
= −
1
√
2
ln
¯
¯
¯
√
2 cos x +
√
cos 2x
¯
¯
¯
+ C.
R
dx
sin x
.
Z
dx
sin x
=
Z
dx
2 sin
x
2
cos
x
2
=
Z
dx
2 cos
2
x
2
tg
x
2
=
=
Z
d(tg
x
2
)
tg
x
2
= ln
¯
¯
¯
tg
x
2
¯
¯
¯
+ C.
sin x
Z
dx
sin x
=
Z
sin xdx
sin
2
x
= −
Z
d(cos x)
1 − cos
2
x
= −
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1 + cos x
1 − cos x
¯
¯
¯
¯
+ C.
−
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1 + cos x
1 − cos x
¯
¯
¯
¯
=
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
1 − cos x
1 + cos x
¯
¯
¯
¯
=
1
2
ln
¯
¯
¯
¯
2 sin
2
x
2
2 cos
2
x
2
¯
¯
¯
¯
=
                                                                          21
              R
  1700(á).        √sin x dx.
                   cos 2x                 √
Íà ðîëü íîâîãî àðãóìåíòà ¾ïðåòåíäóåò¿ 2 cos x. Äåéñòâèòåëü-
íî:                                   √
             cos 2x = 2 cos2 x − 1 = ( 2 cos x)2 − 1,
                                       1 √
            sin xdx = −d(cos x) = − √ d( 2 cos x).
                                        2
Èìååì:
         Z                       Z       √
              sin x           1        d( 2 cos x)
            √         dx = − √      q√                =
               cos 2x          2      ( 2 cos x)2 − 1
(èñïîëüçóåì òàáëè÷íûé èíòåãðàë XVIII)
                   1     ¯√             √               ¯
                         ¯                              ¯
            = − √ ln ¯ 2 cos x + 2 cos2 x − 1¯ + C =
                    2
                       1    ¯√               √       ¯
                            ¯                        ¯
                = − √ ln ¯ 2 cos x + cos 2x¯ + C.
                        2
          R dx
  1703. sin x .
È âíîâü ïðåäëàãàåì Âàì äâà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà.
Ïåðåéäÿ â çíàìåíàòåëå ê ïîëîâèííîìó óãëó, ïîëó÷èì:
           Z            Z                     Z
               dx                dx                    dx
                     =            x     x =                      =
              sin x        2 sin 2 cos 2         2 cos2 x2 tg x2
                        Z                  ¯ x¯
                           d(tg x2 )       ¯     ¯
                     =          x     = ln ¯tg ¯ + C.
                             tg 2              2
Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë âòîðûì ñïîñîáîì, óìíîæèì ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà sin x:
 Z          Z                  Z                           ¯           ¯
     dx         sin xdx              d(cos x)        1 ¯¯ 1 + cos x ¯¯
          =               =−                    = − ln ¯                 + C.
    sin x        sin2 x             1 − cos2 x       2       1 − cos x ¯
Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ è ñâîéñòâà ëîãà-
ðèôìà, ïîêàæåì, ÷òî âòîðîé îòâåò ïðåîáðàçóåòñÿ â ïåðâûé:
          ¯            ¯      ¯          ¯      ¯          ¯
       1 ¯¯ 1 + cos x ¯¯ 1 ¯¯ 1 − cos x ¯¯ 1 ¯¯ 2 sin2 x2 ¯¯
     − ln ¯              = ln              = ln              =
       2    1 − cos x ¯ 2 ¯ 1 + cos x ¯ 2 ¯ 2 cos2 x ¯          2

Страницы