Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
2
ln
¯
¯
¯
tg
2
x
2
¯
¯
¯
= ln
r
¯
¯
¯
tg
x
2
¯
¯
¯
2
= ln
¯
¯
¯
tg
x
2
¯
¯
¯
.
R
q
ln(x+
√
1+x
2
)
1+x
2
dx.
d
³
ln(x +
√
1 + x
2
)
´
=
³
ln(x +
√
1 + x
2
)
´
0
dx =
=
1
x +
√
1 + x
2
µ
1 +
2x
2
√
1 + x
2
dx =
dx
√
1 + x
2
.
Z
s
ln(x +
√
1 + x
2
)
1 + x
2
dx =
Z
ln
1
2
(x +
√
1 + x
2
)
dx
√
1 + x
2
=
=
Z
ln
1
2
(x+
√
1 + x
2
) d
³
ln(x +
√
1 + x
2
)
´
=
2
3
ln
3
2
(x+
√
1 + x
2
)+C.
R
x
2
−1
x
4
+1
dx.
x
2
Z
x
2
− 1
x
4
+ 1
dx =
Z
x
2
¡
1 −
1
x
2
¢
x
2
¡
x
2
+
1
x
2
¢
dx.
µ
1 −
1
x
2
dx = d
µ
x +
1
x
,
x
2
+
1
x
2
= x
2
+
1
x
2
+2 − 2
| {z }
0
=
µ
x +
1
x
2
− 2,
Z
¡
1 −
1
x
2
¢
dx
¡
x
2
+
1
x
2
¢
=
Z
d
¡
x +
1
x
¢
¡
x +
1
x
¢
2
− 2
=
·µ
x +
1
x
= u
¸
=
Z
du
u
2
− 2
=
22
                               r¯
               1 ¯¯ 2 x ¯¯           ¯
                                 ¯ x ¯2
                                          ¯ x¯
                                          ¯    ¯
            = ln ¯tg ¯ = ln ¯tg ¯ = ln ¯tg ¯ .
               2         2         2         2
        R q ln(x+√1+x2 )
  1711.         1+x2
                         dx.
Ïîñëå íåêîòîðîãî ðàçäóìüÿ è, âîçìîæíî, íåñêîëüêèõ íåóäà÷íûõ
ïîïûòîê èíòåãðèðîâàíèÿ, ¾ðèñêíåì¿ âû÷èñëèòü
          ³       √          ´ ³       √     ´0
        d ln(x + 1 + x2 ) = ln(x + 1 + x2 ) dx =
                         µ             ¶
                 1               2x                 dx
        =       √          1+ √          dx = √           .
           x + 1 + x2         2 1 + x2             1 + x2
Òàêèì îáðàçîì,
      s         √
    Z                          Z         √
        ln(x + 1 + x2 )            1                   dx
                   2
                          dx = ln 2 (x + 1 + x2 ) √          =
              1+x                                     1 + x2
  Z        √           ³       √       ´ 2 3           √
      1
= ln 2 (x+ 1 + x2 ) d ln(x + 1 + x2 ) = ln 2 (x+ 1 + x2 )+C.
                                             3
        R x2 −1
  1713. x4 +1 dx.
Âûíåñåì x2 â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíê-
öèè:
                Z 2            Z 2¡         ¢
                   x −1           x 1 − x12
                          dx =       ¡       ¢ dx.
                   x4 + 1        x2 x2 + x12
Çàìåòèâ, ÷òî
                 µ          ¶       µ¶
                        1          1
                     1− 2
                        dx = d x +     ,
                       x           x
                                 µ       ¶2
           2  1    2  1                1
          x + 2 = x + 2 +2 −2= x+           − 2,
             x       x | {z }          x
                                0
ïîëó÷èì:
Z ¡       ¢      Z    ¡       ¢   ·µ       ¶     ¸ Z
   1 − x12 dx        d x + x1            1             du
   ¡      1
             ¢ =   ¡      ¢ 2   =    x +     = u  =   2
                                                          =
     x2 + x2        x + x1 − 2           x           u −2

Страницы