Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
2
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
u −
√
2
u +
√
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
1
2
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x +
1
x
−
√
2
x +
1
x
+
√
2
¯
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
1
2
√
2
ln
¯
¯
¯
¯
¯
x
2
−
√
2x + 1
x
2
+
√
2x + 1
¯
¯
¯
¯
¯
+ C.
R
sin x cos xdx
sin
4
x+cos
4
x
.
sin
2
x; cos
2
x; cos 2x; tg
2
x; ctg
2
x.
tg
2
x ctg
2
x
Z
sin x cos xdx
sin
4
x + cos
4
x
=
Z
sin x cos xdx
cos
4
x(1 + tg
4
x)
=
Z
tg x
(1 + tg
4
x)
·
dx
cos
2
x
=
=
Z
tg x d(tg x)
1 + tg
4
x
=
1
2
Z
d(tg
2
x)
1 + (tg
2
x)
2
=
1
2
arctg(tg
2
x) + C.
cos 2x
sin x cos xdx =
1
2
sin 2xdx = −
1
4
d(cos 2x).
sin
2
x =
1 − cos 2x
2
, cos
2
x =
1 + cos 2x
2
.
sin
4
x =
µ
1 − cos 2x
2
2
, cos
4
x =
µ
1 + cos 2x
2
2
,
sin
4
x + cos
4
x =
1 + cos
2
2x
2
.
sin
4
x + cos
4
x = (sin
2
x + cos
2
x)
2
− 2 sin
2
x cos
2
x =
                                                                            23
                   ¯           ¯                  ¯                ¯
           1       ¯ u − √2 ¯               1     ¯ x + 1 − √2 ¯
                   ¯           ¯                  ¯       x        ¯
      = √ ln ¯            √ ¯ + C = √ ln ¯                     √ ¯+C =
         2 2 ¯u + 2¯                       2 2 ¯x + x + 2¯1

                                    ¯                 ¯
                            1       ¯ x2 − √2x + 1 ¯
                                    ¯                 ¯
                       = √ ln ¯             √         ¯ + C.
                          2 2       ¯ x + 2x + 1 ¯
                                       2
          R sin x cos xdx
  1718. sin    4 x+cos4 x .

Äàííûé èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü, âûáðàâ â êà÷åñòâå íîâîãî
àðãóìåíòà sin2 x; cos2 x; cos 2x; tg2 x; ctg2 x. Ðàññìîòðèì ëèøü
äâà ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ .
Ïðîùå âñåãî, íà íàø âçãëÿä, âûðàçèòü ïîäûíòåãðàëüíîå âûðà-
æåíèå ÷åðåç tg2 x (èëè ctg2 x) è èñïîëüçîâàòü òàáëè÷íûé èíòå-
ãðàë IV. Äåéñòâèòåëüíî:
Z                         Z                           Z
    sin x cos xdx                sin x cos xdx                tg x       dx
      4                =                      4
                                                  =                4
                                                                       ·      =
   sin x + cos4 x             cos4 x(1 + tg x)            (1 + tg x) cos2 x
        Z                         Z
           tg x d(tg x)         1        d(tg2 x)       1
     =                4
                            =                  2 2
                                                    = arctg(tg2 x) + C.
             1 + tg x           2     1 + (tg x)        2
Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë âòîðûì ñïîñîáîì, âûáåðåì â êà÷åñòâå íî-
âîãî àðãóìåíòà cos 2x.  ÷èñëèòåëå ïîëó÷èì:
                                    1                  1
              sin x cos xdx = sin 2xdx = − d(cos 2x).
                                    2                  4
 çíàìåíàòåëå èñïîëüçóåì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè äëÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé:
                          1 − cos 2x                    1 + cos 2x
              sin2 x =                   , cos2 x =                  .
                                 2                           2
                          µ                ¶2               µ            ¶2
                  4          1 − cos 2x             4         1 + cos 2x
    Òîãäà sin x =                             , cos x =                     ,
                                   2                                2
                            4    1 + cos2 2x
                                      4
             è sin x + cos x =               .
                                      2
Ìîæíî ïîëó÷èòü ýòîò ðåçóëüòàò è ïî-äðóãîìó:
        sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 − 2 sin2 x cos2 x =

Страницы