Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
x
3
3+x
dx.
Z
x
3
3 + x
dx =
Z
(x
3
+ 27) − 27
x + 3
dx =
Z
(x + 3)(x
2
− 3x + 9)
x + 3
dx−
−27
Z
dx
x + 3
=
Z
x
2
dx − 3
Z
xdx + 9
Z
dx − 27
Z
d(x + 3)
x + 3
=
=
x
3
3
−
3
2
x
2
+ 9x − 27 ln |x + 3| + C.
R
x
2
(1−x)
100
dx.
Z
x
2
(1 − x)
100
dx =
Z
x
2
(x − 1)
100
dx =
Z
((x − 1) + 1)
2
(x − 1)
100
dx =
=
Z
(x − 1)
2
+ 2(x − 1) + 1
(x − 1)
100
dx =
Z
(x − 1)
−98
dx+
+2
Z
(x − 1)
−99
dx +
Z
(x − 1)
−100
dx =
= −
1
97(x − 1)
97
−
1
49(x − 1)
98
−
1
99(x − 1)
99
+ C.
R
dx
√
x+1+
√
x−1
.
√
x + 1 −
√
x − 1
Z
dx
√
x + 1 +
√
x − 1
=
Z
√
x + 1 −
√
x − 1
(x + 1) − (x − 1)
dx =
1
2
Z
√
x + 1 dx−
−
1
2
Z
√
x − 1 dx =
1
3
(x + 1)
3
2
−
1
3
(x − 1)
3
2
+ C.
R
x
3
3
√
1 + x
2
dx.
u = x
2
+ 1
x
3
dx =
1
2
x
2
d(x
2
) =
1
2
((x
2
+ 1) − 1) d(x
2
+ 1) =
1
2
(u − 1)du.
                                                                    25
          R
  1724.        x3
              3+x
                  dx.
Âûäåëèì öåëóþ ÷àñòü äðîáè:
 Z           Z                     Z
     x3        (x3 + 27) − 27        (x + 3)(x2 − 3x + 9)
        dx =                  dx =                        dx−
   3+x              x+3                      x+3
      Z        Z          Z          Z         Z
         dx        2                              d(x + 3)
  −27        = x dx − 3 xdx + 9 dx − 27                    =
        x+3                                        x+3
                x3 3 2
                  =− x + 9x − 27 ln |x + 3| + C.
                 3   2
       R x2
  1727. (1−x)100 dx.
    Z                    Z                 Z
            x2                 x2             ((x − 1) + 1)2
                   dx =               dx =                   dx =
        (1 − x)100         (x − 1)100           (x − 1)100
           Z                                Z
               (x − 1)2 + 2(x − 1) + 1
         =                             dx = (x − 1)−98 dx+
                      (x − 1)100
                   Z                 Z
               +2 (x − 1) dx + (x − 1)−100 dx =
                            −99


                   1                1              1
        =−               97
                            −           98
                                            −              + C.
              97(x − 1)        49(x − 1)      99(x − 1)99
         R
  1729. √x+1+   dx√
                    x−1
                        .
Óìíîæèâ
   √       ÷èñëèòåëü
              √          è çíàìåíàòåëü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
íà x + 1 − x − 1 (ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòåëþ), ïîëó÷èì:
Z                          Z √           √               Z
           dx                   x+1− x−1              1 √
   √          √        =                        dx =         x + 1 dx−
     x+1+ x−1                 (x + 1) − (x − 1)       2
              Z
            1 √                  1        3   1        3
         −         x − 1 dx = (x + 1) 2 − (x − 1) 2 + C.
            2                    3            3
         R 3√
  1732. x 3 1 + x2 dx.
Ââåäåì íîâûé àðãóìåíò u = x2 + 1. Ïðè ýòîì
            1              1                            1
   x3 dx = x2 d(x2 ) = ((x2 + 1) − 1) d(x2 + 1) = (u − 1)du.
            2              2                            2

Страницы