Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
sin(2x −
π
6
) cos(3x +
π
4
)dx.
Z
sin(2x −
π
6
) cos(3x +
π
4
)dx =
1
2
Z
µ
sin
³
5x +
π
12
´
+ sin
µ
−x −
5π
12
¶¶
dx =
=
1
2
Z
sin
³
5x +
π
12
´
dx −
1
2
Z
sin
µ
x +
5π
12
dx =
= −
1
10
cos
³
5x +
π
12
´
+
1
2
cos
µ
x +
5π
12
+ C.
R
sin
4
x dx.
Z
sin
4
x dx =
Z
(sin
2
x)
2
dx =
Z
µ
1 − cos 2x
2
2
dx =
=
1
4
Z
¡
1 − 2 cos 2x + cos
2
2x
¢
dx =
1
4
Z
dx −
1
2
Z
cos 2xdx+
+
1
4
Z
1 + cos 4x
2
dx =
x
4
−
sin 2x
4
+
1
8
µ
x +
sin 4x
4
+ C =
=
3
8
x −
1
4
sin 2x +
1
32
sin 4x + C.
R
tg
3
x dx.
Z
tg
3
x dx =
Z
sin
3
x
cos
3
x
dx =
Z
sin
2
x(sin xdx)
cos
3
x
=
= −
Z
1 − cos
2
x
cos
3
x
d(cos x) = −
Z
d(cos x)
cos
3
x
+
Z
d(cos x)
cos x
=
=
1
2 cos
2
x
+ ln |cos x| + C.
                                                                          27
          R
  1746.     sin(2x − π6 ) cos(3x + π4 )dx.
Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷èì:
                     Z
                                     π               π
                        sin(2x − ) cos(3x + )dx =
                                     6               4
              Z µ ³                           µ             ¶¶
            1                    π´                     5π
                    sin 5x +           + sin −x −                dx =
            2                   12                       12
              Z       ³                       Z       µ          ¶
            1                 π´            1                5π
        =        sin 5x +            dx −         sin x +           dx =
            2                 12            2                 12
                         ³                         µ          ¶
                  1                 π´ 1                  5π
            = − cos 5x +                 + cos x +               + C.
                 10                12       2              12
          R
  1749. sin4 x dx.
Èñïîëüçóåì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè äëÿ ñèíóñà è êîñèíó-
ñà:
       Z                 Z                    Z µ                ¶2
              4                  2    2              1 − cos 2x
          sin x dx = (sin x) dx =                                    dx =
                                                          2
       Z                                            Z           Z
     1 ¡                           2
                                        ¢        1            1
   =        1 − 2 cos 2x + cos 2x dx =                 dx −         cos 2xdx+
     4                                           4            2
        Z                                            µ              ¶
      1     1 + cos 4x          x sin 2x 1                  sin 4x
    +                    dx = −                +       x+             +C =
      4          2              4         4        8           4
                       3      1               1
                   = x − sin 2x +                sin 4x + C.
          R            8      4              32
  1752. tg3 x dx.
Çàìåíèì òàíãåíñ íà îòíîøåíèå ñèíóñà è êîñèíóñà:
          Z                Z                   Z
                3              sin3 x              sin2 x(sin xdx)
              tg x dx =                 dx =                         =
                              cos3 x                    cos3 x
          Z                                 Z                Z
              1 − cos2 x                        d(cos x)         d(cos x)
     =−             3
                          d(cos x) = −               3
                                                          +                =
                cos x                            cos x             cos x
                              1
                        =             + ln | cos x| + C.
                           2 cos2 x

Страницы