Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
tg
3
x dx =
Z
tg x
sin
2
x
cos
2
x
dx =
Z
tg x
1 − cos
2
x
cos
2
x
dx =
=
Z
tg x
dx
cos
2
x
−
Z
tg x dx =
Z
tg x d(tg x) +
Z
d(cos x)
cos x
=
=
1
2
tg
2
x + ln |cos x| + C.
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x
1
2 cos
2
x
+ ln |cos x| + C =
1
2
(1 + tg
2
x) + ln |cos x| + C =
=
1
2
tg
2
x + ln |cos x| +
µ
1
2
+ C
=
1
2
tg
2
x + ln |cos x| +
˜
C.
R
sin
2
3x sin
3
2x dx.
Z
sin
2
3x sin
3
2x dx =
Z
1 − cos 6x
2
·
1 − cos 4x
2
sin 2x dx =
=
1
4
Z
(sin 2x−sin 2x cos 6x−sin 2x cos 4x+sin 2x cos 4x cos 6x)dx =
=
1
4
½
Z
sin 2xdx −
1
2
³
Z
sin 8xdx +
Z
sin(−4x)dx
´
−
−
1
2
³
Z
sin 6xdx +
Z
sin(−2x)dx
´
+
1
2
Z
(cos 10x + cos 2x) sin 2xdx
¾
=
1
4
½
−
1
2
cos 2x +
1
16
cos 8x −
1
8
cos 4x +
1
12
cos 6x −
1
4
cos 2x+
+
1
4
Z
µ
sin 12x + sin(−8x)
dx +
1
4
Z
sin 4xdx
¾
=
28

Ìîæíî ïîñòóïèòü èíà÷å:
       Z                  Z                     Z
               3                  sin2 x                 1 − cos2 x
            tg x dx = tg x                dx  =     tg x            dx =
                                  cos2 x                   cos2 x
       Z                    Z              Z                  Z
                   dx                                             d(cos x)
   = tg x 2 − tg x dx = tg x d(tg x) +                                     =
                 cos x                                             cos x
                               1
                            = tg2 x + ln | cos x| + C.
                               2
  È åùå ðàç óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíûõ
ñïîñîáîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ïî ôîðìå
ðåçóëüòàòû.  äàííîì ñëó÷àå â ñîâïàäåíèè ïåðâîãî è âòîðîãî
îòâåòîâ ìîæíî óáåäèòüñÿ, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó cos12 x = 1 + tg2 x.
Äåéñòâèòåëüíî:
          1                              1
             2
                  + ln | cos x| + C = (1 + tg2 x) + ln | cos x| + C =
      2 cos x                            2
                                   µ         ¶
         1 2                         1            1
     = tg x + ln | cos x| +            + C = tg2 x + ln | cos x| + C̃.
         2                           2            2
            R
  1753. sin2 3x sin3 2x dx.
Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷èì:
    Z                            Z
            2         3              1 − cos 6x 1 − cos 4x
        sin 3x sin 2x dx =                        ·             sin 2x dx =
                                           2             2
     Z
   1
=        (sin 2x−sin 2x cos 6x−sin 2x cos 4x+sin 2x cos 4x cos 6x)dx =
   4
               ½Z                    Z                Z
            1                     1³                                  ´
       =            sin 2xdx −           sin 8xdx + sin(−4x)dx −
            4                     2
      Z                   Z                ´ 1Z                                  ¾
   1³
−          sin 6xdx + sin(−2x)dx +                   (cos 10x + cos 2x) sin 2xdx
   2                                            2
       ½
     1        1              1            1            1            1
  =       − cos 2x +           cos 8x − cos 4x +          cos 6x − cos 2x+
     4        2             16            8            12           4
                 Z µ                        ¶          Z           ¾
              1                                      1
           +         sin 12x + sin(−8x) dx +              sin 4xdx =
              4                                      4

Страницы