Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
1
4
½
−
3
4
cos 2x +
µ
−
1
8
−
1
16
cos 4x +
1
12
cos 6x+
+
µ
1
16
+
1
32
cos 8x −
1
48
cos 12x
¾
+ C = −
3
16
cos 2x −
3
64
cos 4x+
+
1
48
cos 6x +
3
128
cos 8x −
1
192
cos 12x + C.
R
dx
sin x cos
3
x
.
1 = sin
2
x + cos
2
x
Z
dx
sin x cos
3
x
=
Z
1
sin x cos
3
x
dx =
Z
sin
2
x + cos
2
x
sin x cos
3
x
dx =
=
Z
sin xdx
cos
3
x
+
Z
cos x
sin x
·
dx
cos
2
x
= −
Z
d(cos x)
cos
3
x
+
+
Z
d(tg x)
tg x
=
1
2 cos
2
x
+ ln |tg x| + C.
R
(1+e
x
)
2
1+e
2x
dx.
Z
(1 + e
x
)
2
1 + e
2x
dx =
Z
1 + 2e
x
+ e
2x
1 + e
2x
dx =
Z
1 + e
2x
1 + e
2x
dx+
+2
Z
e
x
1 + e
2x
dx =
Z
dx + 2
Z
d(e
x
)
1 + (e
x
)
2
dx = x + 2 arctg e
x
+ C.
R
ch x ch 3x dx.
Z
ch x ch 3x dx =
1
2
Z
(ch 4x + ch 2x)dx =
1
2
Z
ch 4x dx+
+
1
2
Z
ch 2x dx =
1
8
sh 4x +
1
4
sh 2x + C.
                                                                        29
         ½             µ          ¶
          1  3             1    1            1
        = − cos 2x + − −            cos 4x +    cos 6x+
          4  4             8 16              12
 µ       ¶                    ¾
   1   1            1                     3           3
+    +     cos 8x −    cos 12x + C = − cos 2x −         cos 4x+
   16 32            48                   16          64
                1               3                1
              +    cos 6x +         cos 8x −         cos 12x + C.
               48              128             192
         R
  1756. sin xdxcos3 x .
Èñïîëüçóÿ îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, ðàñïèøåì
åäèíèöó â ÷èñëèòåëå: 1 = sin2 x + cos2 x. Ïîëó÷èì:
    Z                    Z                        Z
            dx                     1                  sin2 x + cos2 x
                      =                   dx   =                      dx =
       sin x cos3 x          sin x cos3 x               sin x cos3 x
            Z                Z                          Z
               sin xdx           cos x     dx               d(cos x)
         =           3
                          +             ·    2
                                                  =−                 +
                cos x            sin x cos x                 cos3 x
                   Z
                       d(tg x)          1
               +                =             + ln |tg x| + C.
                         tg x       2 cos2 x
         R      x )2
  1760. (1+e 1+e2x
                     dx.
Âîçâåäåì â êâàäðàò ñóììó â ÷èñëèòåëå äðîáè:
      Z                      Z                           Z
          (1 + ex )2            1 + 2ex + e2x               1 + e2x
                      dx  =                      dx   =              dx+
           1 + e2x                   1 + e2x                1 + e2x
    Z                   Z           Z
          ex                              d(ex )
 +2             dx   =     dx  +  2                dx = x + 2 arctg ex + C.
       1 + e2x                          1 + (ex )2
         R
  1764. ch x ch 3x dx.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ êîñè-
íóñîâ (ñì. Ïðèëîæåíèå), ïîëó÷èì:
    Z                         Z                              Z
                           1                               1
       ch x ch 3x dx =           (ch 4x + ch 2x)dx =            ch 4x dx+
                           2                               2
                     Z
                  1                    1           1
               +        ch 2x dx = sh 4x + sh 2x + C.
                  2                    8           4

Страницы