Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = a sin t x = a cos t x = a tg t
x = a sin
2
t
x = ϕ(t)
•
• x = ϕ(t)
• x t
R
dx
(1−x
2
)
3
2
.
|x| < 1
x = sin t t ∈ (−
π
2
;
π
2
)
x
x t
x = sin t; dx = cos tdt; 1−x
2
= 1−sin
2
t = cos
2
t; (1−x
2
)
3
2
= |cos t|
3
.
t cos t > 0 |cos t| = cos t
Z
dx
(1 − x
2
)
3
2
=
Z
cos tdt
cos
3
t
=
Z
dt
cos
2
t
= tg t + C =
sin t
cos t
+ C =
=
sin t
p
1 − sin
2
t
+ C =
x
√
1 − x
2
+ C.
R
x
2
dx
√
x
2
−2
.
                                                                      31

5.4. Èñïîëüçîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîäñòàíîâîê ïðè
èíòåãðèðîâàíèè.
  Çàäà÷è 17781785 ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ èñïîëüçîâàíèÿ òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ ïîäñòàíîâîê x = a sin t, x = a cos t, x = a tg t,
x = a sin2 t (ïàðàìåòðû ïîëîæèòåëüíû) è ò.ï.
  Óêàçàííûå ïîäñòàíîâêè óäîáíû ïðè âû÷èñëåíèè íåêîòîðûõ
òèïîâ èíòåãðàëîâ, ñîäåðæàùèõ ðàäèêàëû (ïîäðîáíåå ñì. ï. 5.6).
Âûáèðàòü êîíêðåòíóþ ïîäñòàíîâêó x = ϕ(t) íåîáõîäèìî òàê,
÷òîáû
     • ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæå-
        íèè ¾èñ÷åç¿ ðàäèêàë;
     • ðàâåíñòâî x = ϕ(t) ïîçâîëèëî ¾çàïîëíèòü¿ îáëàñòü îïðå-
        äåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè;
     • ñîîòâåòñòâèå ìåæäó x è t áûëî âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì.
          R
  1778.          dx
                      3   .
              (1−x2 ) 2
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè: |x| < 1. Ïî-
ëîæèì x = sin t è ðàññìîòðèì òîëüêî t ∈ (− π2 ; π2 ).  ýòîì ñëó÷àå
x ¾ïðîáåæèò¿ ïî âñåé óêàçàííîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, ïðè÷åì
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó x è t áóäåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì. Èìååì:
                                                                  3
x = sin t; dx = cos tdt; 1−x2 = 1−sin2 t = cos2 t; (1−x2 ) 2 = | cos t|3 .
 ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ t: cos t > 0, | cos t| = cos t.
Èòàê:
  Z               Z           Z
       dx           cos tdt       dt                sin t
              3 =           =          = tg t + C =       +C =
    (1 − x2 ) 2      cos3 t     cos2 t              cos t
                               sin t                  x
                      =p                   +C = √          + C.
                              1 − sin2 t            1 − x2
          R
  1779.
                2
              √x dx .
                x2 −2
Çàáåãàÿ âïåðåä, çàìåòèì, ÷òî ïðîùå âñåãî âû÷èñëèòü äàííûé
èíòåãðàë, èñïîëüçóÿ ãèïåðáîëè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè. Ìû ïðîäå-
ìîíñòðèðóåì ýòî â ï. 5.5, íî çäåñü, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàäàíèåì,
áóäåì èñïîëüçîâàòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïîäñòàíîâêè.

Страницы