Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= sgn t
µ
1
4
³
ctg
2
t
2
− tg
2
t
2
´
− ln
¯
¯
¯
tg
t
2
¯
¯
¯
+ C =
= sgn t
³
cos
2
t
2
´
2
−
³
sin
2
t
2
´
2
4 sin
2
t
2
cos
2
t
2
− ln
¯
¯
¯
sin
t
2
cos
t
2
¯
¯
¯
+ C =
= sgn t
³
cos
2
t
2
− sin
2
t
2
´³
cos
2
t
2
+ sin
2
t
2
´
sin
2
t
− ln
¯
¯
¯
¯
sin
t
2
cos
t
2
cos
2
t
2
¯
¯
¯
¯
+ C
= sgn t
µ
cos t
sin
2
t
+ ln
¯
¯
¯
¯
1 + cos t
sin t
¯
¯
¯
¯
+ C = I.
x
sgn t = sgn x; sin t =
√
2
x
; cos t =
p
1 − sin
2
t =
r
1 −
2
x
2
=
=
√
x
2
− 2
|x|
;
cos t
sin
2
t
=
√
x
2
− 2
2 |x|
· x
2
=
√
x
2
− 2
2
|x|.
1 + cos t = 1 +
√
x
2
− 2
|x|
=
|x| +
√
x
2
− 2
|x|
;
1 + cos t
sin t
=
|x| +
√
x
2
− 2
|x| ·
√
2
x
=
|x| +
√
x
2
− 2
√
2 sgn x
=
x + sgn x
√
x
2
− 2
√
2
.
I = sgn x
µ
√
x
2
− 2
2
|x| + ln
¯
¯
¯
¯
x + sgn x
√
x
2
− 2
√
2
¯
¯
¯
¯
+ C =
=
x
√
x
2
− 2
2
+ sgn x ln
¯
¯
¯
¯
x + sgn x
√
x
2
− 2
√
2
¯
¯
¯
¯
| {z }
S
2
+C.
S
2
x >
√
2 : S
2
= ln
¡
x +
√
x
2
− 2
¢
− ln
√
2;
                                                                               33
                    µ ³                 ´     ¯ t ¯¶
                     1      2t      2t        ¯      ¯
            = sgn t      ctg − tg         − ln¯tg ¯ + C =
                     4        2       2            2
                 ³        ´2 ³         ´2                 
                       2 t          2 t         ¯        ¯
                  cos 2 − sin 2
                                                       t
                                                ¯ sin 2 ¯
         = sgn t                          − ln¯         ¯ + C =
                            2 t   2
                       4 sin 2 cos 2t
                                                  cos 2t
         ³                        ´³                  ´                     
              cos2 2t − sin2   t
                                     cos2 2t + sin2 2t      ¯               ¯
                               2                            ¯ sin 2t cos 2t ¯
= sgn t                                              − ln ¯¯               ¯ + C
                             sin2 t                              cos2 2t ¯
                        µ              ¯            ¯¶
                           cos t       ¯ 1 + cos t ¯
              = sgn t                  ¯
                                  + ln ¯            ¯ + C = I.
                          sin2 t            sin t ¯
Âåðíåìñÿ ê x:
                              √                                     r
                                 2              p                             2
  sgn t = sgn x; sin t =           ; cos t = 1 − sin2 t = 1 − 2 =
                                x                                            x
            √                        √                   √
              x2 − 2       cos t        x2 − 2 2            x2 − 2
         =            ;            =             · x  =                |x|.
               |x|         sin2 t       2 |x|                  2
Ïðåîáðàçóåì àðãóìåíò ëîãàðèôìà:
                                  √                    √
                                    x2 − 2       |x| + x2 − 2
             1 + cos t = 1 +                  =                     ;
                                     |x|               |x|
                     √                      √                           √
 1 + cos t    |x| + x2 − 2          |x| + x2 − 2         x + sgn x x2 − 2
           =             √        = √                  =              √          .
   sin t           |x| · x2                2 sgn x                      2
Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíûé èíòåãðàë ðàâåí:
                µ√ 2                     ¯            √           ¯¶
                      x −2               ¯ x + sgn x x2 − 2 ¯
     I = sgn x                 |x| + ln ¯¯         √              ¯ +C =
                                                                  ¯
                        2                            2
               √                        ¯            √           ¯
             x x2 − 2                   ¯ x + sgn x x2 − 2 ¯
           =               + sgn x ln ¯¯           √             ¯ +C.
                                                                 ¯
                   2                                 2
                              |               {z                 }
                                                 S2
Âûÿñíèì, êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü S2 .
              √           ¡    √     ¢       √
          x > 2 : S2 = ln x + x2 − 2 − ln 2;

Страницы