Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x < −
√
2 : S
2
= −ln
¯
¯
¯
¯
x −
√
x
2
− 2
√
2
¯
¯
¯
¯
= −ln
¯
¯
¯
¯
x
2
− (x
2
− 2)
√
2 (x +
√
x
2
− 2)
¯
¯
¯
¯
=
= −ln
¯
¯
¯
¯
¯
√
2
x +
√
x
2
− 2
¯
¯
¯
¯
¯
= −ln
√
2 + ln
¯
¯
¯
x +
√
x
2
− 2
¯
¯
¯
.
I =
x
√
x
2
− 2
2
+ ln
¯
¯
¯
x +
√
x
2
− 2
¯
¯
¯
−ln
√
2 + C
| {z }
˜
C
=
=
x
√
x
2
− 2
2
+ ln
¯
¯
¯
x +
√
x
2
− 2
¯
¯
¯
+
˜
C.
R
dx
(x
2
+a
2
)
3
2
.
x = a tg t, t ∈
³
−π
2
;
π
2
´
.
dx =
a dt
cos
2
t
; x
2
+ a
2
= a
2
(tg
2
t + 1) =
a
2
cos
2
t
; |cos t| = cos t.
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
3
2
=
Z
a dt
cos
2
t
a
3
cos
3
t
=
1
a
2
Z
cos tdt =
1
a
2
sin t + C =
=
1
a
2
tg t cos t + C =
1
a
2
·
x
a
·
1
r
1 +
³
x
a
´
2
+ C =
x
a
2
√
x
2
+ a
2
+ C.
R
q
a+x
a−x
dx.
a + x
a − x
≥ 0 ⇒ −a ≤ x < a.
34
                    ¯    √       ¯        ¯                 ¯
        √           ¯ x − x2 − 2 ¯        ¯ x2 − (x2 − 2) ¯
                    ¯
x < − 2 : S2 = − ln ¯    √       ¯        ¯
                                   = − ln ¯ √         √     ¯=
                           2     ¯            2 (x + x − 2) ¯
                                                        2
            ¯    √       ¯
            ¯      2     ¯       √        ¯      √       ¯
            ¯            ¯                ¯              ¯
     = − ln ¯    √                                  2
                         ¯ = − ln 2 + ln ¯x + x − 2¯ .
            ¯ x + x2 − 2 ¯
È, îêîí÷àòåëüíî:
             √            ¯          ¯
            x x2 − 2      ¯   √      ¯      √
        I=           + ln ¯x + x2 − 2¯ |− ln {z2 + C} =
                2
                                                                            C̃
                           √            ¯          ¯
                          x x2 − 2      ¯   √      ¯
                        =          + ln ¯x + x2 − 2¯ + C̃.
                             2
             R
     1781.             dx
                             3   .
                 (x2 +a2 ) 2
 äàííîì ñëó÷àå óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîäñòàíîâêîé
                                 ³ −π π ´
                 x = a tg t, t ∈     ;    .
                                    2 2
Ïðè ýòîì:
             a dt                                                 a2
     dx =          ;        x2 + a2 = a2 (tg2 t + 1) =                  ;        | cos t| = cos t.
            cos2 t                                               cos2 t
Èìååì:
    Z                                Z    a dt          Z
                  dx                     cos2 t     1                    1
                            3    =         a3
                                                  = 2        cos tdt =      sin t + C =
            (x2 + a2 )      2
                                         cos3 t
                                                   a                     a2
     1                    1 x                           1                   x
=      2
         tg t cos t + C = 2 · · r                           ³ ´2 + C = a2 √x2 + a2 + C.
     a                   a a                                 x
                                                   1+        a
             R q a+x
     1782.    dx.   a−x
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:
                  a+x
                       ≥ 0 ⇒ −a ≤ x < a.
                  a−x

Страницы