Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
2
− 2 > 0 ⇔ |x| >
√
2
x =
√
2
sin t
, t 6= πn, n ∈ N |sin t| < 1
x
(
|x| =
√
2
|sin t|
, |sin t| < 1
)
⇒ |x| >
√
2.
x t
t ∈ (−
π
2
; 0) ∪ (0;
π
2
)
x =
√
2
sin t
, dx = −
√
2 cos t
sin
2
t
dt; x
2
− 2 =
2
sin
2
t
− 2 =
=
2(1 − sin
2
t)
sin
2
t
=
2 cos
2
t
sin
2
t
;
√
x
2
− 2 =
√
2
¯
¯
¯
¯
cos t
sin t
¯
¯
¯
¯
=
√
2 cos t
|sin t|
,
t t
sin t t x sgn(sin t) =
sgn t = sgn x
Z
x
2
dx
√
x
2
− 2
=
Z
2
sin
2
t
³
−
√
2 cos t
sin
2
t
dt
´
√
2 cos t
|sin t|
= −2
Z
|sin t|
sin
4
t
dt =
= −2 sgn(sin t)
Z
dt
sin
3
t
= −2 sgn t
Z
¡
sin
2
t
2
+ cos
2
t
2
¢
2
8 sin
3
t
2
cos
3
t
2
dt =
= −
1
4
sgn t
µ
Z
tg
t
2
·
dt
cos
2
t
2
+ 2
Z
dt
sin
t
2
cos
t
2
+
Z
ctg
t
2
·
dt
sin
2
t
2
=
= −
1
2
sgn t
µ
Z
tg
t
2
d
³
tg
t
2
´
+
Z
dt
tg
t
2
cos
2
t
2
−
Z
ctg
t
2
d
³
ctg
t
2
´
=
= −
1
2
sgn t
µ
1
2
tg
2
t
2
+ 2 ln
¯
¯
¯
tg
t
2
¯
¯
¯
−
1
2
ctg
2
t
2
+ C =
32

  Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé
                                 √            ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðà-
          2
âåíñòâîì x − 2 > 0 ⇔ √
                         |x| > 2.
                       2
Åñëè ïîëîæèòü x = sin t , t 6= πn, n ∈ N, òî, ïîñêîëüêó | sin t| < 1,
x àâòîìàòè÷åñêè áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óêàçàííîé îáëàñòè îïðå-
äåëåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî:
            (         √                    )
                         2                         √
              |x| =          , | sin t| < 1 ⇒ |x| > 2.
                    | sin t|
Ïðè÷åì, äëÿ òîãî ÷òîáû ñîîòâåòñòâèå ìåæäó x è t áûëî âçàèìíî-
îäíîçíà÷íûì, äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü t ∈ (− π2 ; 0) ∪ (0; π2 ).
Èòàê:
           √              √
             2               2 cos t                  2
      x=        , dx = −        2    dt; x2 − 2 =         −2=
          sin t             sin t                  sin2 t
                                               ¯       ¯ √
    2(1 − sin2 t)   2 cos2 t     √          √ ¯ cos t ¯
  =               =          ;       2
                                   x − 2 = 2¯  ¯       ¯ = 2 cos t ,
           2
        sin t           2
                     sin t                       sin t ¯   | sin t|
ò.ê. â óêàçàííîé îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé t êîñèíóñ t ïî-
ëîæèòåëåí.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî çíàêè sin t, t è x ñîâïàäàþò, ò.å. sgn(sin t) =
sgn t = sgn x. Ýòî ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü íèæå. Èìååì:
                              ³ √           ´
      Z             Z    2          2 cos t
                               − sin2 t dt         Z
           x2 dx       sin2 t                        | sin t|
         √        =            √              = −2            dt =
            2
           x −2                 2 cos t               sin4 t
                                  | sin t|
                     Z                    Z ¡ 2t                  ¢2
                        dt                    sin 2 + cos2 2t
   = −2 sgn(sin t)           = −2 sgn t                              dt =
                      sin3 t                    8 sin3 2t cos3 2t
          µZ                    Z                    Z                    ¶
    1             t     dt               dt                  t       dt
= − sgn t     tg ·           +2                   + ctg ·                   =
    4            2 cos2 2t          sin 2t cos 2t            2 sin2 2t
          µZ                   Z                    Z                      ¶
    1             t ³ t´                dt                  t ³         t´
= − sgn t     tg d tg        +                    − ctg d ctg                =
    2            2        2       tg 2t cos2 2t             2           2
                    µ             ¯ t¯ 1                ¶
           1          1 2t        ¯       ¯         2t
       = − sgn t       tg + 2 ln¯tg ¯ − ctg                +C =
           2          2 2              2      2       2

Страницы