Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = a sin αt x = a cos αt
x
x = a cos 2t
a + x
a − x
=
a(1 + cos 2t)
a(1 − cos 2t)
=
2 cos
2
t
2 sin
2
t
=
µ
cos t
sin t
2
;
r
a + x
a − x
=
¯
¯
¯
¯
cos t
sin t
¯
¯
¯
¯
.
t ∈ (0;
π
2
]
x t
|cos t| = cos t |sin t| = sin t
Z
r
a + x
a − x
dx =
Z
cos t
sin t
(−2a sin 2t)dt = −4a
Z
cos t
sin t
sin t cos tdt =
= −4a
Z
cos
2
tdt = −2a
Z
(1+cos 2t)dt = −2a
µ
t +
1
2
sin 2t
+C =
= −2a
Ã
1
2
arccos
x
a
+
1
2
r
1 −
³
x
a
´
2
!
+ C = −a arccos
x
a
−
−
√
a
2
− x
2
+ C = a arcsin
x
a
−
√
a
2
− x
2
+
˜
C.
arcsin y + arccos y =
π
2
.
R
x
p
x
2a−x
dx.
x
2a − x
≥ 0 ⇒ 0 ≤ x < 2a.
                                                                        35

Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ ïîäñòàíîâêà âèäà
                   x = a sin αt èëè x = a cos αt
ïîçâîëèò x ¾çàïîëíèòü¿ óêàçàííóþ îáëàñòü.
Âûáèðàÿ êîíêðåòíóþ ïîäñòàíîâêó, ìû äîëæíû ìàêñèìàëüíî
óïðîñòèòü ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå. Èçáàâèìñÿ îò ðàäèêà-
ëà, ïîëîæèâ x = a cos 2t. Ïðè ýòîì
                                    µ       ¶2 r        ¯        ¯
 a+x     a(1 + cos 2t)   2 cos2 t     cos t      a + x ¯¯ cos t ¯¯
       =               =          =           ;       =            .
 a−x     a(1 − cos 2t)   2 sin2 t     sin t      a − x ¯ sin t ¯
×òîáû ¾çàïîëíèòü¿ âñþ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé
ôóíêöèè, äîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü t ∈ (0; π2 ] (íàïîìíèì, ÷òî
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó x è t äîëæíî áûòü âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì).
 ýòîì ñëó÷àå | cos t| = cos t; | sin t| = sin t. Èìååì:
Z r             Z                                 Z
     a+x           cos t                             cos t
          dx =           (−2a sin 2t)dt = −4a               sin t cos tdt =
     a−x           sin t                             sin t
      Z                   Z                         µ              ¶
            2                                              1
= −4a cos tdt = −2a (1+cos 2t)dt = −2a t + sin 2t +C =
                                                           2
          Ã                 r              !
            1        x 1            ³ x ´2                         x
   = −2a      arccos +         1−             + C = −a arccos −
            2        a 2               a                           a
           √                       x √
         − a2 − x2 + C = a arcsin − a2 − x2 + C̃.
                                   a
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ðåçóëüòàòà ìû âîñïîëüçîâàëèñü ôîð-
ìóëîé
                                        π
                   arcsin y + arccos y = .
                                        2
       R p x
  1783. x 2a−x dx.
 îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:
                    x
                          ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x < 2a.
                  2a − x

Страницы