Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
x
2
√
a
2
+x
2
dx.
x = a sh t
x = a sh t,
√
a
2
+ x
2
=
q
a
2
(1 + sh
2
t) = a
p
ch
2
t = a ch t,
dx = a ch tdt.
Z
x
2
√
a
2
+ x
2
dx =
Z
a
2
sh
2
t
a ch t
· ach t dt = a
2
Z
sh
2
tdt =
=
a
2
2
Z
(ch 2t − 1)dt =
a
2
2
µ
1
2
sh 2t − t
+ C.
sh 2t = 2 sh t ch t = 2 ·
x
a
·
r
1 +
³
x
a
´
2
=
2x
√
a
2
+ x
2
a
2
.
t x
t sh t = z
sh t = z ⇒
e
t
− e
−t
2
= z,
¡
e
t
¢
2
−2z e
t
−1 = 0, e
t
= z ±
√
z
2
+ 1.
e
t
> 0
e
t
= z +
√
z
2
+ 1 t = ln(z +
√
z
2
+ 1).
sh t = z ⇒ t = ln(z +
√
z
2
+ 1) = Arsh z
sh t =
x
a
t = ln(x +
√
x
2
+ a
2
) − ln a
Z
x
2
√
a
2
+ x
2
dx =
x
2
√
a
2
+ x
2
−
a
2
2
ln(x +
√
x
2
+ a
2
) +
˜
C.
                                                                     37
          R
  1787.
                  2
              √ x    dx.
               a +x2
                2

Ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ïîäñòàíîâêà x = a sh t ïîçâîëèò íàì èçáàâèòü-
ñÿ îò ðàäèêàëà. Èìååì:
                √        q                  p
    x = a sh t,   a + x = a2 (1 + sh2 t) = a ch2 t = a ch t,
                   2   2


                            dx = a ch tdt.
Äëÿ èíòåãðàëà ïîëó÷èì:
       Z                      Z 2 2                        Z
               x2                a sh t
          √             dx =              · ach t dt = a 2
                                                             sh2 tdt =
               2
             a +x     2           a ch t
                    Z                        µ             ¶
                a2                       a2 1
            =          (ch 2t − 1)dt =           sh 2t − t + C.
                 2                       2 2
Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Î÷åâèäíî,
÷òî
                                       r      ³ x ´2 2x√a2 + x2
                                   x
       sh 2t = 2 sh t ch t = 2 · · 1 +                =               .
                                   a             a            a2
Îñòàëîñü âûðàçèòü t ÷åðåç x. Äëÿ ýòîãî ïðåäâàðèòåëüíî ðåøèì
îòíîñèòåëüíî t óðàâíåíèå sh t = z :
             et − e−t           ¡ t ¢2                               √
sh t = z ⇒               = z,    e − 2z et − 1 = 0, et = z ± z 2 + 1.
                  2
               t
Ïîñêîëüêó e > 0, òî îäèí êîðåíü ÿâëÿåòñÿ ïîñòîðîííèì. Ñëå-
äîâàòåëüíî
                         √                            √
             et = z + z 2 + 1 è t = ln(z + z 2 + 1).
Îòìåòèì, ÷òî òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ îá-
ðàòíîãî ãèïåðáîëè÷åñêîãî ñèíóñà:
                                   √
              sh t = z ⇒ t = ln(z + z 2 + 1) = Arsh z
                                                 √
 íàøåì ñëó÷àå sh t = xa , ïîýòîìó t = ln(x + x2 + a2 ) − ln a.
Òàêèì îáðàçîì,
    Z
           x2           x√ 2        a2        √
       √           dx =    a + x2 − ln(x + x2 + a2 ) + C̃.
         a 2 + x2       2            2

Страницы