Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
x
2
dx
√
x
2
−2
.
|x| >
√
2
x >
√
2 x =
√
2 ch t t ∈ (0; +∞)
dx =
√
2 sh tdt, x
2
− 2 = 2( ch
2
t − 1) = 2 sh
2
t,
√
x
2
− 2 =
√
2|sh t| =
√
2 sh t.
Z
x
2
dx
√
x
2
− 2
=
Z
2 ch
2
t(
√
2 sh t)dt
√
2 sh t
= 2
Z
ch
2
tdt =
=
Z
(1 + ch 2t)dt = t +
1
2
sh 2t + C = t + sh t ch t + C.
x
ch t = z ⇒
e
t
+ e
−t
2
= z,
¡
e
t
¢
2
− 2z e
t
+ 1 = 0, e
t
= z ±
√
z
2
− 1.
z ≥ 1 e
t
> 0
e
t
= z +
√
z
2
− 1 t = ln(z +
√
z
2
− 1).
ch t = z ⇒ t = ln(z +
√
z
2
− 1) = Arch z
t = ln(x +
√
x
2
− 2) −
√
2, sh t ch t =
√
x
2
− 2
√
2
·
x
√
2
=
x
2
√
x
2
− 2.
38



  Âåðíåìñÿ òåïåðü ê çàäà÷å 1779 è ïðîäåìîíñòðèðóåì îáåùàí-
íîå ðàíåå èñïîëüçîâàíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ ïîäñòàíîâîê ïðè å¼
ðåøåíèè.R Èòàê,
  1779. √xx2dx−2 .
             2


Íàïîìíèì,√÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíê-
öèè: |x| >√ 2.               √
Äëÿ x > 2 ïîëîæèì x = 2 ch t, t ∈ (0; +∞). Òîãäà
                √
          dx = 2 sh tdt, x2 − 2 = 2( ch 2 t − 1) = 2 sh 2 t,
                   √           √            √
                     x2 − 2 = 2| sh t| = 2 sh t.
        Z              Z           √             Z
             x2 dx        2 ch 2 t( 2 sh t)dt
           √        =           √             =2   ch 2 tdt =
               2
             x −2                  2 sh t
         Z
                                1
      = (1 + ch 2t)dt = t + sh 2t + C = t + sh t ch t + C.
                                2
Âûðàçèì ðåçóëüòàò ÷åðåç x. Äëÿ ýòîãî ïðåäâàðèòåëüíî, êàê è
ïðè ðåøåíèè ïðåäûäóùåé çàäà÷è, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ îá-
ðàòíîãî ãèïåðáîëè÷åñêîãî êîñèíóñà. Èìååì:
              et + e−t      ¡ ¢2                        √
 ch t = z ⇒            = z, et − 2z et + 1 = 0, et = z ± z 2 − 1.
                  2
Ïîñêîëüêó z ≥ 1 è et > 0, òî êîðåíü ñî çíàêîì ¾ìèíóñ¿ îïÿòü
îêàçûâàåòñÿ ïîñòîðîííèì. Ïîýòîìó
                  √                      √
          et = z + z 2 − 1 è t = ln(z + z 2 − 1).
Òàêèì îáðàçîì:
                                              √
                 ch t = z ⇒ t = ln(z +            z 2 − 1) = Arch z
 íàøåì ñëó÷àå
                                                    √
             √                 √                        x2 − 2 x   x√ 2
t = ln(x +       x2   − 2) −       2, sh t ch t =       √     ·√ =   x − 2.
                                                           2    2  2

Страницы