Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x ≥ a
Z
r
x − a
x + a
dx =
√
x
2
− a
2
− 2a ln(
√
x − a +
√
x + a) + C.
x < −a x+a = −2a sh
2
t
t ∈ (0; +∞)
x − a = −2a sh
2
t − 2a = −2a( sh
2
t + 1) = −2a ch
2
t;
r
x − a
x + a
=
r
−2a ch
2
t
−2a sh
2
t
=
¯
¯
¯
¯
ch t
sh t
¯
¯
¯
¯
=
ch t
sh t
; dx = −4a sh t ch tdt.
Z
r
x − a
x + a
dx = −4a
Z
ch
2
tdt = −2a
Z
( ch 2t + 1)dt =
= −2a
µ
1
2
sh 2t + t
+
˜
C = −2a sh t ch t − 2at +
˜
C.
x
sh t =
r
x + a
−2a
; ch t =
r
x − a
−2a
; t = Arsh
r
x + a
−2a
=
= ln
µ
r
x + a
−2a
+
r
x + a
−2a
+ 1
=
= ln
√
−x − a +
√
−x + a
√
2a
= ln(
√
−x − a +
√
−x + a) − ln
√
2a,
x < −a
Z
r
x − a
x + a
dx = −
√
x
2
− a
2
− 2a ln(
√
−x − a +
√
−x + a) + C.
Z
r
x − a
x + a
dx =
√
x
2
− a
2
− 2a ln(
√
x − a +
√
x + a) + C,
x ≥ a;
−
√
x
2
− a
2
− 2a ln(
√
−x − a +
√
−x + a) + C,
x < −a.
40

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ x ≥ a:
    Z r           √
        x−a                       √       √
             dx = x2 − a2 − 2a ln( x − a + x + a) + C.
        x+a
   Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé x < −a. Ïîëîæèì x+a = −2a sh 2 t,
t ∈ (0; +∞). Òîãäà
       x − a = −2a sh 2 t − 2a = −2a( sh 2 t + 1) = −2a ch 2 t;
   r          r               ¯      ¯
     x−a         −2a ch 2 t ¯¯ ch t ¯¯   ch t
            =               =          =      ; dx = −4a sh t ch tdt.
     x+a         −2a sh 2 t ¯ sh t ¯     sh t
Ïîëó÷èì:
     Z r                    Z                   Z
           x−a                    2
                 dx = −4a       ch tdt = −2a ( ch 2t + 1)dt =
           x+a
               µ            ¶
                 1
        = −2a      sh 2t + t + C̃ = −2a sh t ch t − 2at + C̃.
                 2
Âåðíåìñÿ ê x:
            r                    r                    r
              x+a                  x−a                  x+a
     sh t =          ; ch t =            ; t = Arsh             =
               −2a                  −2a                  −2a
                       µr           r             ¶
                           x+a          x+a
                 = ln             +            +1 =
                           −2a          −2a
      √            √
        −x − a + −x + a             √             √              √
 = ln         √               = ln( −x − a + −x + a) − ln 2a,
                 2a
è, îêîí÷àòåëüíî, äëÿ x < −a:
  Z r                √
       x−a                               √           √
             dx = − x2 − a2 − 2a ln( −x − a + −x + a) + C.
       x+a
Èòîã:
                 √                    √          √
                 
                     x2 − a2 − 2a ln( x − a + x + a) + C,
Z r              
                 åñëè x ≥ a;
     x−a
           dx =      √                   √           √
     x+a         
                  − x2 − a2 − 2a ln( −x − a + −x + a) + C,
                 
                 
                   åñëè x < −a.

Страницы