Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

R
dx
√
(x+a)(x+b)
.
b > a
(
x + a > 0,
x + b > 0;
(
x + a < 0,
x + b < 0.
x+a > 0 x+b > 0
x + a = (b − a) sh
2
t, t ∈ (0; +∞)
x + b = x + a + (b −a) = (b −a) sh
2
t + (b −a) = (b −a)
¡
sh
2
t + 1
¢
=
= (b − a) ch
2
t; dx = 2(b − a) sh t ch tdt;
p
(x + a)(x + b) = (b − a)|sh t| · |ch t| = (b − a) sh t ch t.
Z
dx
p
(x + a)(x + b)
= 2
Z
dt = 2t +
˜
C.
t x
sh t =
r
x + a
b − a
,
t = Arsh
r
x + a
b − a
= ln
µ
r
x + a
b − a
+
r
x + a
b − a
+ 1
=
= ln
Ã
r
x + a
b − a
+
r
x + b
b − a
!
= ln(
√
x + a +
√
x + b) − ln
√
b − a.
x + a > 0, x + b > 0
Z
dx
p
(x + a)(x + b)
= 2 ln(
√
x + a +
√
x + b) + C.
x + a < 0, x + b < 0
x + b = −(b − a) sh
2
t, t ∈ (0; +∞).
                                                                       41
          R
  1789.       √      dx
                  (x+a)(x+b)
                             .
Ïðåäïîëîæèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî b > a.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ëèøü â
ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:
           (                     (
             x + a > 0,            x + a < 0,
                           è
             x + b > 0;            x + b < 0.
  Ðàññìîòðèì ïåðâóþ ñèòóàöèþ: x + a > 0 è x + b > 0. Ïîëîæèì
x + a = (b − a) sh 2 t, t ∈ (0; +∞). Òîãäà
                                                            ¡          ¢
x + b = x + a + (b − a) = (b − a) sh 2 t + (b − a) = (b − a) sh 2 t + 1 =

              = (b − a) ch 2 t;
                             dx = 2(b − a) sh t ch tdt;
     p
      (x + a)(x + b) = (b − a)| sh t| · | ch t| = (b − a) sh t ch t.
Äëÿ èíòåãðàëà ïîëó÷èì:
           Z                      Z
                    dx
              p                = 2 dt = 2t + C̃.
                (x + a)(x + b)
Âûðàçèì t ÷åðåç x:
                                          r
                                              x+a
                                 sh t =           ,
                                              b−a
                      r    µr         r         ¶
                  x+a          x+a      x+a
       t = Arsh       = ln          +        +1 =
                  b−a          b−a      b−a
      Ãr          r     !
          x+a       x+b        √       √           √
 = ln           +         = ln( x + a + x + b) − ln b − a.
          b−a       b−a
Òàêèì îáðàçîì, ïðè x + a > 0, x + b > 0:
       Z                                 √
                dx               √
         p                = 2 ln( x + a + x + b) + C.
           (x + a)(x + b)
  Âî âòîðîì ñëó÷àå (x + a < 0, x + b < 0) ïîëîæèì
                    x + b = −(b − a) sh 2 t, t ∈ (0; +∞).

Страницы