Интегрирование функций одного переменного: примеры и задачи. Ч.1. Неопределенный интеграл: основные понятия, свойства, методы интегрирования. Кропотова Т.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z
x
2
dx
√
x
2
− 2
=
x
2
√
x
2
− 2 + ln(x +
√
x
2
− 2) +
˜
C.
x < −
√
2
x = −
√
2 ch t, t ∈ (0; +∞)
R
q
x−a
x+a
dx.
x − a
x + a
≥ 0 ⇒
·
x ≥ a,
x < −a.
x ≥ a x − a = 2a sh
2
t,
t ∈ [0; +∞)
x + a = 2a sh
2
t + 2a = 2a( sh
2
t + 1) = 2a ch
2
t;
r
x − a
x + a
=
r
2a sh
2
t
2a ch
2
t
=
¯
¯
¯
¯
sh t
ch t
¯
¯
¯
¯
=
sh t
ch t
; dx = 4a sh t ch tdt.
Z
r
x − a
x + a
dx = 4a
Z
sh t
ch t
sh t ch tdt = 4a
Z
sh
2
tdt =
= 2a
Z
( ch 2t −1)dt = 2a
µ
1
2
sh 2t − t
+
˜
C = a sh 2t −2at +
˜
C =
= 2a sh t ch t − 2at +
˜
C.
x
sh t =
r
x − a
2a
; ch t =
r
x + a
2a
; t = Arsh
r
x − a
2a
=
= ln
Ã
r
x − a
2a
+
r
x − a
2a
+ 1
!
= ln(
√
x − a +
√
x + a) − ln
√
2a.
                                                                  39

Äëÿ èíòåãðàëà ïîëó÷àåì:
        Z
            x2 dx    x√ 2             √
          √        =    x − 2 + ln(x + x2 − 2) + C̃.
            x2 − 2   2
                                       √
Ñäåëàâ àíàëîãè÷íûå âûêëàäêè äëÿ x < − 2:
                   √
             x = − 2 ch t, t ∈ (0; +∞) è ò.ä.,
ïîëó÷èì ðåçóëüòàò,  óêàçàííûé íà ñ. 34.
        R q x−a
  1788.     x+a
                dx.
Íàéäåì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:
                                ·
                     x−a           x ≥ a,
                          ≥0⇒
                     x+a          x < −a.
   Ðàññìîòðèì ñëó÷àé x ≥ a. Ïîëîæèì x − a = 2a sh 2 t,
t ∈ [0; +∞). Òîãäà
        x + a = 2a sh 2 t + 2a = 2a( sh 2 t + 1) = 2a ch 2 t;
    r         r              ¯      ¯
      x−a        2a sh 2 t ¯¯ sh t ¯¯    sh t
            =          2
                           =¯       ¯ =       ; dx = 4a sh t ch tdt.
      x+a        2a ch t       ch t      ch t
Ïîëó÷èì:
     Z r                  Z                         Z
          x−a                sh t
                dx = 4a            sh t ch tdt = 4a    sh 2 tdt =
          x+a                ch t
    Z                     µ              ¶
                            1
= 2a ( ch 2t − 1)dt = 2a       sh 2t − t + C̃ = a sh 2t − 2at + C̃ =
                            2
                     = 2a sh t ch t − 2at + C̃.
Âåðíåìñÿ ê x:
            r              r                r
              x−a            x+a              x−a
     sh t =       ; ch t =       ; t = Arsh        =
               2a             2a               2a
     Ãr          r         !
          x−a      x−a           √       √          √
= ln           +       + 1 = ln( x − a + x + a) − ln 2a.
           2a       2a

Страницы